Пожалуйста решите уравнение 2sin^2(П/2-х)=-√3cosx Найдите его корни,принадлежащие промежутку -3П ; -3П/2

Корни уравнения 2sin^2(π/2-x)=-√3cosx на интервале [-3π, -3π/2] равны x = -5π/6, x = -2π/3.

Для решения данного уравнения сначала преобразуем его: 2sin^2(П/2 - x) = -√3cosx sin^2(П/2 - x) = -√3cosx / 2 sin^2(П/2 - x) = -√3cosx / 2 = -√3(1 - sin^2x) / 2 sin^2(П/2 - x) = -√3 + √3sin^2x / 2 sin^2(П/2 - x) = -√3/2 + √3/2sin^2x

Теперь применим формулу косинуса для sin(П/2 - x) и sin(x): sin(П/2 - x) = cosx cosx = -√3/2 + √3/2sin^2x cosx = -√3/2 + √3/2(1 - cos^2x) cosx = -√3/2 + √3/2 - √3/2cos^2x cosx = √3/2 - √3/2cos^2x cosx = √3(1 - cos^2x) / 2 cosx = √3sin^2x / 2

Таким образом, уравнение преобразуется в: 2sin^2x = √3sin^2x sin^2x = 0

Корни уравнения sin^2x = 0 на промежутке -3П ; -3П/2 отсутствуют, так как sin^2x не равен нулю в данном промежутке.

Для решения уравнения (2\sin^2\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = -\sqrt{3}\cos{x}) необходимо воспользоваться тригонометрическими тождествами и преобразованиями.

1. Используем тождество для преобразования синуса: [ \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos{x}. ] Следовательно: [ \sin^2\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos^2{x}. ]

2. Подставляем в уравнение: [ 2\cos^2{x} = -\sqrt{3}\cos{x}. ]

3. Переносим все в одну сторону: [ 2\cos^2{x} + \sqrt{3}\cos{x} = 0. ]

4. Вынесем (\cos{x}) за скобки: [ \cos{x}(2\cos{x} + \sqrt{3}) = 0. ]

5. Получаем два уравнения: [ \cos{x} = 0 ] и [ 2\cos{x} + \sqrt{3} = 0. ]

6. Решим первое уравнение (\cos{x} = 0): [ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. ]

7. Решим второе уравнение (2\cos{x} + \sqrt{3} = 0): [ 2\cos{x} = -\sqrt{3} ] [ \cos{x} = -\frac{\sqrt{3}}{2}. ] Угол, при котором косинус равен (-\frac{\sqrt{3}}{2}), определяется как: [ x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. ]

Теперь найдем корни, принадлежащие промежутку (-3\pi; -\frac{3\pi}{2}).

1. Для (\cos{x} = 0): [ x = \frac{\pi}{2} + \pi n. ] Подставим значения (n = -4) и (n = -3) (так как для (n = -2) значение уже выходит за границы (-\frac{3\pi}{2})): [ x = \frac{\pi}{2} - 4\pi = -\frac{7\pi}{2}, ] [ x = \frac{\pi}{2} - 3\pi = -\frac{5\pi}{2}. ]

2. Для (\cos{x} = -\frac{\sqrt{3}}{2}): [ x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n. ] Рассмотрим (x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n) и (x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n).

   Для (x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n), возьмем (n = -2), чтобы попасть в заданный промежуток: [ x = \frac{5\pi}{6} - 4\pi = -\frac{19\pi}{6}. ]

   Для (x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n), возьмем (n = -2): [ x = -\frac{5\pi}{6} - 4\pi = -\frac{29\pi}{6}. ]

Таким образом, корни уравнения, принадлежащие промежутку (-3\pi; -\frac{3\pi}{2}), это:

• (x = -\frac{5\pi}{2}),
• (x = -\frac{19\pi}{6}),
• (x = -\frac{29\pi}{6}).