Постройте треугольник с вершинами A(1,-2,8), B(0,0,4), C(6,2,0) . Вычислить его площадь и высоту BD

Чтобы построить треугольник с вершинами (A(1, -2, 8)), (B(0, 0, 4)), (C(6, 2, 0)) и вычислить его площадь и высоту (BD), следуем следующим шагам:

1. Вычисление сторон треугольника

Для начала найдём длины всех сторон треугольника, используя формулу расстояния между двумя точками в пространстве: [ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} ]

Длина стороны (AB):

[ AB = \sqrt{(0 - 1)^2 + (0 + 2)^2 + (4 - 8)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 4 + 16} = \sqrt{21} ]

Длина стороны (BC):

[ BC = \sqrt{(6 - 0)^2 + (2 - 0)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{6^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 4 + 16} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14} ]

Длина стороны (AC):

[ AC = \sqrt{(6 - 1)^2 + (2 + 2)^2 + (0 - 8)^2} = \sqrt{5^2 + 4^2 + (-8)^2} = \sqrt{25 + 16 + 64} = \sqrt{105} ]

2. Вычисление площади треугольника

Площадь треугольника можно найти через векторное произведение двух векторов, образованных его сторонами. Выберем векторы (\vec{AB}) и (\vec{AC}):

Вектор (\vec{AB}):

[ \vec{AB} = B - A = (0 - 1, 0 + 2, 4 - 8) = (-1, 2, -4) ]

Вектор (\vec{AC}):

[ \vec{AC} = C - A = (6 - 1, 2 + 2, 0 - 8) = (5, 4, -8) ]

Вычислим векторное произведение (\vec{AB} \times \vec{AC}):

[ \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ -1 & 2 & -4 \ 5 & 4 & -8 \end{vmatrix} ]

Рассчитаем определитель: [ \vec{AB} \times \vec{AC} = \mathbf{i}(2 \cdot -8 - (-4) \cdot 4) - \mathbf{j}(-1 \cdot -8 - (-4) \cdot 5) + \mathbf{k}(-1 \cdot 4 - 2 \cdot 5) ] [ = \mathbf{i}(-16 + 16) - \mathbf{j}(8 + 20) + \mathbf{k}(-4 - 10) ] [ = \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(-28) + \mathbf{k}(-14) ] [ = 0\mathbf{i} + 28\mathbf{j} - 14\mathbf{k} ] [ = (0, 28, -14) ]

Модуль вектора (\vec{AB} \times \vec{AC}): [ |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{0^2 + 28^2 + (-14)^2} = \sqrt{0 + 784 + 196} = \sqrt{980} = 14\sqrt{5} ]

Площадь треугольника: [ S = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} \cdot 14\sqrt{5} = 7\sqrt{5} ]

3. Вычисление высоты (BD)

Высота (BD) опускается из вершины (B(0,0,4)) на сторону (AC). Вектор (\vec{AC}) у нас уже известен: ((5, 4, -8)).

Для вычисления высоты используем формулу: [ h = \frac{2S}{a} ] где (S) — площадь треугольника, (a) — длина стороны (AC).

[ h_{BD} = \frac{2 \cdot 7\sqrt{5}}{\sqrt{105}} = \frac{14\sqrt{5}}{\sqrt{105}} = \frac{14\sqrt{5}}{\sqrt{21 \cdot 5}} = \frac{14\sqrt{5}}{\sqrt{21} \cdot \sqrt{5}} = \frac{14}{\sqrt{21}} = \frac{14 \cdot \sqrt{21}}{21} = \frac{2 \cdot \sqrt{21}}{3} ]

Таким образом, высота (BD) равна (\frac{2\sqrt{21}}{3}).

Результаты:

• Длины сторон: (AB = \sqrt{21}), (BC = 2\sqrt{14}), (AC = \sqrt{105})
• Площадь треугольника: (7\sqrt{5})
• Высота (BD): (\frac{2\sqrt{21}}{3})

Для построения треугольника с вершинами A(1,-2,8), B(0,0,4), C(6,2,0) можно воспользоваться координатами вершин и формулой для нахождения площади треугольника по координатам вершин.

1. Вычислим длины сторон треугольника: AB = √((0-1)^2 + (0+2)^2 + (4-8)^2) = √(1 + 4 + 16) = √21 BC = √((6-0)^2 + (2-0)^2 + (0-4)^2) = √(36 + 4 + 16) = √56 AC = √((6-1)^2 + (2+2)^2 + (0-8)^2) = √(25 + 16 + 64) = √105

2. Вычислим полупериметр треугольника: p = (AB + BC + AC) / 2 = ( √21 + √56 + √105) / 2

3. Вычислим площадь треугольника по формуле Герона: S = √(p(p - AB)(p - BC)(p - AC))

4. Для нахождения высоты BD проведем высоту из вершины B к стороне AC, обозначим точку пересечения как D. Высота BD будет равна отрезку BD.

5. Вычислим координаты точки D: Для этого найдем уравнение прямой, проходящей через точки B и C: x = 0 + t (6-0) y = 0 + t (2-0) z = 4 + t * (0-4)

Таким образом, получим уравнение прямой: x = 6t y = 2t z = 4 - 4t

Далее, найдем точку пересечения прямой и плоскости ABC: Подставим координаты точки D в уравнение плоскости ABC: x + 2y - 8z + d = 0 6t + 2 2t - 8 (4 - 4t) + d = 0 6t + 4t - 32 + 32t + d = 0 42t - 32 + d = 0 42t = 32 - d t = (32 - d) / 42

Подставив значение t в уравнение прямой, найдем координаты точки D.

Теперь у нас есть координаты точек B и D, найдем длину отрезка BD.

Таким образом, мы построили треугольник ABC, вычислили его площадь и нашли высоту BD.