Постройте график функции y=|x|(x-1)-2x и определите при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком...

Для того чтобы прямая y=m имела ровно две общие точки с графиком функции y=|x|(x-1)-2x, значение m должно лежать в интервале (-2, 0).

Для решения данной задачи сначала упростим и построим график функции ( y = |x|(x-1) - 2x ).

1. Упрощение функции: Функция содержит модуль, поэтому рассмотрим два случая:

   • Когда ( x \geq 0 ), ( |x| = x ). Тогда функция примет вид: [ y = x(x-1) - 2x = x^2 - x - 2x = x^2 - 3x ]
   • Когда ( x < 0 ), ( |x| = -x ). Тогда функция примет вид: [ y = -x(x-1) - 2x = -x^2 + x - 2x = -x^2 - x ]

2. График функции:

   • Для ( x \geq 0 ): ( y = x^2 - 3x ) — это парабола, ветви которой направлены вверх, с корнями уравнения ( x^2 - 3x = 0 ), т.е. ( x = 0 ) и ( x = 3 ).
   • Для ( x < 0 ): ( y = -x^2 - x ) — это парабола, ветви которой направлены вниз, без действительных корней.

   Соединив эти две части, получаем кусочно-заданную функцию, которая на ( x < 0 ) идет вниз без пересечения с осью ( x ), и на ( x \geq 0 ) начинается в точке ( (0,0) ), проходит через минимум в точке ( x = 1.5 ) и возвращается к оси ( x ) в точке ( (3,0) ).

3. Определение значений ( m ): Нам нужно определить, при каких ( m ) прямая ( y = m ) будет иметь ровно две точки пересечения с графиком функции.

   • Очевидно, что при ( m = 0 ) прямая пересекает график в точках ( (0, 0) ) и ( (3, 0) ).
   • Так как минимум функции на ( x \geq 0 ) достигается при ( x = 1.5 ) и равен ( y = 1.5^2 - 3 \times 1.5 = 2.25 - 4.5 = -2.25 ), прямая ( y = m ) будет иметь две точки пересечения при ( -2.25 < m < 0 ) (между минимальным значением функции и осью ( x )).

Таким образом, прямая ( y = m ) имеет ровно две общие точки с графиком функции при ( -2.25 < m < 0 ).

Для того чтобы определить значения параметра m, при которых прямая y=m имеет ровно две общие точки с графиком функции y=|x|(x-1)-2x, нужно вначале построить график данной функции.

График функции y=|x|(x-1)-2x представляет собой сочетание графиков функций y=x|x-1| и y=-2x. График функции y=x|x-1| имеет вершину в точке (1,0) и проходит через начало координат. График функции y=-2x является прямой, проходящей через начало координат и имеющей угловой коэффициент -2.

Изучив график функции y=|x|(x-1)-2x, мы можем определить, что прямая y=m имеет две общие точки с данным графиком в двух случаях: 1) m больше минимального значения функции y=|x|(x-1)-2x и меньше максимального значения этой функции, 2) m равно минимальному или максимальному значению функции y=|x|(x-1)-2x.

Таким образом, для определения значений параметра m необходимо найти минимальное и максимальное значение функции y=|x|(x-1)-2x. Для этого можно найти точки экстремума функции, где производная равна нулю, и проверить их значения на графике.

После нахождения минимального и максимального значений функции y=|x|(x-1)-2x, можно определить критические значения параметра m, при которых прямая y=m имеет две общие точки с графиком функции.