Постройте график функции y=cos0,5x и запишите точки пересечения его с осями

Функция y = cos(0.5x) представляет собой косинусоиду, где аргумент угла в косинусе умножается на 0.5. Для построения графика этой функции нужно выбрать значения x и вычислить соответствующие значения y.

Точки пересечения графика функции y = cos(0.5x) с осями координат можно найти, подставив x = 0 и y = 0 в уравнение функции.

1. Пересечение с осью OX (ось абсцисс): При x = 0 получаем y = cos(0) = 1. Таким образом, точка пересечения с осью OX - (0, 1).

2. Пересечение с осью OY (ось ординат): При y = 0 ищем x: 0 = cos(0.5x). Это уравнение имеет бесконечное количество решений, так как косинус равен нулю в точках, кратных pi. Таким образом, точки пересечения с осью OY - все точки вида (2kpi, 0), где k - целое число.

Построив график функции y = cos(0.5x), мы увидим косинусоиду, которая будет пересекать ось OX в точке (0, 1) и будет пересекать ось OY во всех точках вида (2kpi, 0), где k - целое число.

Для начала рассмотрим функцию ( y = \cos(0.5x) ).

Построение графика

1. Определение функции: Функция ( y = \cos(0.5x) ) является косинусоидой, сжатой по оси ( x ).

2. Период функции: Период косинусоиды ( \cos(kx) ) определяется формулой ( \frac{2\pi}{|k|} ). В нашем случае ( k = 0.5 ), поэтому период равен: [ T = \frac{2\pi}{0.5} = 4\pi ]

3. Основные точки: Для построения графика удобно использовать несколько ключевых точек на интервале одного периода ( [0, 4\pi] ):

   • ( x = 0 ): ( y = \cos(0.5 \cdot 0) = \cos(0) = 1 )
   • ( x = 2\pi ): ( y = \cos(0.5 \cdot 2\pi) = \cos(\pi) = -1 )
   • ( x = 4\pi ): ( y = \cos(0.5 \cdot 4\pi) = \cos(2\pi) = 1 )

   Также полезно отметить точки, где косинус равен нулю:

   • ( 0.5x = \frac{\pi}{2} \implies x = \pi )
   • ( 0.5x = \frac{3\pi}{2} \implies x = 3\pi )
   • И аналогично для других значений ( x = (2n+1)\pi ), где ( n \in \mathbb{Z} ).

4. Поведение функции:

   • На интервале ( [0, \pi] ) функция убывает от 1 до 0.
   • На интервале ( [\pi, 3\pi] ) функция убывает от 0 до -1, а затем возрастает обратно до 0.
   • На интервале ( [3\pi, 4\pi] ) функция возрастает от 0 до 1.

Точки пересечения с осями

1. Пересечения с осью ( y ): Чтобы найти пересечение с осью ( y ), нужно подставить ( x = 0 ): [ y = \cos(0.5 \cdot 0) = \cos(0) = 1 ] Таким образом, точка пересечения с осью ( y ) — это (0, 1).

2. Пересечения с осью ( x ): Чтобы найти пересечения с осью ( x ) (где ( y = 0 )), решим уравнение: [ \cos(0.5x) = 0 ] Это уравнение выполняется, когда аргумент косинуса равен ( \frac{\pi}{2} + n\pi ) для ( n \in \mathbb{Z} ): [ 0.5x = \frac{\pi}{2} + n\pi ] Умножим обе части на 2: [ x = \pi + 2n\pi = (2n+1)\pi ] Таким образом, точки пересечения с осью ( x ) — это ( x = (2n+1)\pi ), где ( n \in \mathbb{Z} ). На одном периоде ( [0, 4\pi] ) это точки ( x = \pi ) и ( x = 3\pi ).

Итог

• Точка пересечения с осью ( y ): ( (0, 1) )
• Точки пересечения с осью ( x ): ( (\pi, 0) ) и ( (3\pi, 0) )

График функции ( y = \cos(0.5x) ) представляет собой осциллирующую кривую с периодом ( 4\pi ), проходящую через указанные точки пересечения.