Построить фигуру симметричную данному четырёхугольнику; относительно точки лежащей. 1) вне четырёх угольника...

Чтобы построить фигуру, симметричную данному четырёхугольнику относительно точки:

1) Вне четырёхугольника: Найдите для каждой вершины четырёхугольника точку, симметричную ей относительно заданной точки. Соедините полученные точки, чтобы получить новый четырёхугольник.

2) На середине его стороны: Выберите сторону четырёхугольника и найдите её середину. Для каждой вершины четырёхугольника проведите перпендикуляры к этой стороне и найдите их пересечения с перпендикулярами, проведёнными из середины стороны. Соедините полученные точки, чтобы получить новый четырёхугольник.

Построение фигуры, симметричной данному четырёхугольнику относительно точки, предполагает, что каждая вершина исходного четырёхугольника отражается относительно выбранной точки. Расширим объяснение для двух случаев:

1. Построение симметричного четырёхугольника относительно точки, лежащей вне четырёхугольника

Предположим, что дан четырёхугольник (ABCD) и точка (O) лежит вне этого четырёхугольника. Чтобы получить симметричный четырёхугольник (A'B'C'D'), выполняем следующие шаги:

1. Определяем симметричные точки вершин. Для каждой вершины четырёхугольника ((A, B, C, D)) находим симметричную точку относительно точки (O). Пусть координаты точки (O) равны ((x_O, y_O)), а координаты, например, вершины (A) равны ((x_A, yA)). Тогда симметричная точка (A') будет иметь координаты: [ x{A'} = 2x_O - xA, \quad y{A'} = 2y_O - y_A. ]

2. Повторяем шаг 1 для всех вершин. Аналогично определяем координаты точек (B'), (C'), (D'), используя ту же формулу: [ x_{B'} = 2x_O - xB, \quad y{B'} = 2y_O - yB, ] [ x{C'} = 2x_O - xC, \quad y{C'} = 2y_O - yC, ] [ x{D'} = 2x_O - xD, \quad y{D'} = 2y_O - y_D. ]

3. Соединяем новые точки. Соединяем точки (A'B'C'D') в порядке, аналогичном соединению точек исходного четырёхугольника (ABCD).

Полученный четырёхугольник (A'B'C'D') будет симметричен (ABCD) относительно точки (O), и его форма останется неизменной.

2. Построение симметричного четырёхугольника относительно точки, лежащей на середине одной из сторон

Теперь предположим, что точка (O) лежит на середине одной из сторон четырёхугольника (ABCD). Например, точка (O) — середина стороны (AB). Процесс построения симметричного четырёхугольника будет следующим:

1. Определяем симметричные точки вершин.

   • Точки (A) и (B) после отражения относительно (O) перейдут друг в друга. Это связано с тем, что (O) является серединой отрезка (AB), а отражение сохраняет расстояние. Таким образом: [ A' = B, \quad B' = A. ]
   • Для точек (C) и (D), которые не лежат на стороне (AB), определяем их симметричные точки (C') и (D') относительно точки (O) по формуле: [ x_{C'} = 2x_O - xC, \quad y{C'} = 2y_O - yC, ] [ x{D'} = 2x_O - xD, \quad y{D'} = 2y_O - y_D. ]

2. Соединяем новые точки. Теперь соединяем точки (B', A', C', D') в порядке, соответствующем соединению точек (ABCD) в исходном четырёхугольнике.

Важные замечания:

• Симметрия относительно точки сохраняет форму и размеры фигуры, особенно если точки соединяются в том же порядке.
• Симметрия не зависит от расположения четырёхугольника: он может быть произвольным (квадрат, ромб, произвольный выпуклый или невыпуклый четырёхугольник).
• Если точка симметрии (O) лежит внутри четырёхугольника, процесс построения аналогичен описанным выше.

Чтобы построить фигуру, симметричную данному четырехугольнику, относительно заданной точки, следует учитывать, где расположена эта точка — вне четырехугольника или на середине его стороны. Рассмотрим оба случая.

1) Симметрия относительно точки, лежащей вне четырехугольника

Предположим, у нас есть четырехугольник ABCD и точка O, лежащая вне него. Чтобы построить симметричный четырехугольник A'B'C'D', выполните следующие шаги:

1. Найдите симметричные точки: Для каждой вершины четырехугольника (A, B, C, D) найдите ее симметричную точку относительно точки O.

   • Для этого проведите прямую AO и продолжите её до точки A', так чтобы O было серединой отрезка AA'. Это можно сделать следующим образом:
     • Измерьте расстояние от O до A и отложите такое же расстояние от O в направлении, противоположном A, чтобы получить A'.
   • Повторите этот процесс для вершин B, C и D, получая точки B', C' и D'.

2. Соедините симметричные точки: Постройте отрезки A'B', B'C', C'D' и D'A', чтобы получить симметричный четырехугольник A'B'C'D'.

2) Симметрия относительно точки, лежащей на середине стороны четырехугольника

Теперь рассмотрим случай, когда точка O является серединой одной из сторон четырехугольника. Пусть, например, O — это середина стороны AB. Чтобы построить симметричный четырехугольник A'B'C'D', выполните следующие шаги:

1. Найдите симметричные точки: Для каждой вершины четырехугольника (A, B, C, D) найдите их симметричные точки относительно точки O.

   • Для вершин A и B, так как O — середина отрезка AB, их симметричные точки будут находиться на тех же расстояниях от O, но в противоположных направлениях. То есть A' и B' будут совпадать с точками A и B, соответственно.
   • Для вершин C и D проведите прямые OC и OD, и найдите точки C' и D', которые находятся на одинаковом расстоянии от O, но в противоположных направлениях:
     • Измерьте расстояние от O до C и отложите такое же расстояние от O в сторону, противоположную C, чтобы получить C'.
     • Аналогично, найдите D'.

2. Соедините симметричные точки: Постройте отрезки A'B', B'C', C'D' и D'A', чтобы получить симметричный четырехугольник A'B'C'D'.

Заключение

Таким образом, в обоих случаях мы можем построить симметричный четырехугольник относительно заданной точки, будь то точка вне четырехугольника или на середине его стороны. Основной принцип — это использование расстояния от точки симметрии до каждой из вершин и построение новых точек на тех же расстояниях, но в противоположных направлениях.