Поставили самовар, а потом 7 раз садились пить чай и каждый раз выпивали половину имеющейся в нем воды...

Давайте обозначим общий объем воды в самоваре перед каждым чаепитием как V. После первого чаепития в самоваре остается V/2 + 0.5 литра воды. После второго чаепития остается (V/2 + 0.5)/2 + 0.5 = V/4 + 0.75 литра воды. Аналогично, после третьего, четвертого, пятого, шестого и седьмого чаепития останется V/8 + 0.875, V/16 + 0.9375, V/32 + 0.96875, V/64 + 0.984375 и V/128 + 0.9921875 литра воды соответственно.

После седьмого чаепития в самоваре остается V/128 + 0.9921875 литра воды, которая равна 0 (всей воды не осталось). Таким образом, V/128 + 0.9921875 = 0. Решая это уравнение, мы получаем, что V = 128 * 0.9921875 = 127 литров воды было в самоваре перед чаепитием.

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать метод обратных вычислений, начиная с последнего состояния самовара.

Давайте обозначим количество воды в самоваре до каждого чаепития как ( x_n ), где ( n ) — это номер чаепития, начнем с ( n = 7 ) и будем двигаться к ( n = 0 ), где ( x_0 ) — это количество воды в самоваре в самом начале.

На каждом этапе (чаепитии) расходуется половина оставшейся воды плюс полстакана. Пусть объем полстакана равен ( c ). Тогда после каждого чаепития количество воды в самоваре ( x_n ) изменяется следующим образом:

[ x_{n-1} = \frac{x_n}{2} + c ]

Мы знаем, что после седьмого чаепития воды не осталось, то есть ( x_7 = 0 ).

Теперь можем выразить ( x_6 ) через ( x_7 ):

[ x_6 = 2 \cdot (x_7 + c) = 2c ]

Аналогично:

[ x_5 = 2 \cdot (x_6 + c) = 2 \cdot (2c + c) = 4c + 2c = 6c ]

[ x_4 = 2 \cdot (x_5 + c) = 2 \cdot (6c + c) = 14c ]

[ x_3 = 2 \cdot (x_4 + c) = 2 \cdot (14c + c) = 30c ]

[ x_2 = 2 \cdot (x_3 + c) = 2 \cdot (30c + c) = 62c ]

[ x_1 = 2 \cdot (x_2 + c) = 2 \cdot (62c + c) = 126c ]

[ x_0 = 2 \cdot (x_1 + c) = 2 \cdot (126c + c) = 254c ]

Таким образом, в самом начале в самоваре было ( 254c ) воды. Если полстакана равен объему ( c ), то изначально в самоваре было 254 полстакана воды.