Помогите решить неравенство: lg^4(x)-4lg^3(x)+5lg^2(x)-2lg(x)>=0 Ответ должен такой получиться: (0;1]U{1}U[100;+∞)

Для решения данного неравенства ( \lg^4(x) - 4\lg^3(x) + 5\lg^2(x) - 2\lg(x) \geq 0 ) введем новую переменную ( t = \lg(x) ), где ( x > 0 ). Тогда неравенство преобразуется в:

[ t^4 - 4t^3 + 5t^2 - 2t \geq 0. ]

Далее разложим многочлен на множители. Для этого можно попробовать найти корни уравнения ( t^4 - 4t^3 + 5t^2 - 2t = 0 ):

1. Вынесем ( t ) общий множитель:

[ t(t^3 - 4t^2 + 5t - 2) = 0. ]

1. Теперь нужно решить уравнение ( t^3 - 4t^2 + 5t - 2 = 0 ). Посмотрим, можно ли найти корни подбором или разложением на более простые множители:

Можно проверить, что ( t = 1 ) и ( t = 2 ) являются корнями:

[ 1^3 - 4 \cdot 1^2 + 5 \cdot 1 - 2 = 0, ] [ 2^3 - 4 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2 - 2 = 0. ]

Разделим многочлен на ( (t-1)(t-2) ):

[ t^3 - 4t^2 + 5t - 2 = (t-1)(t-2)(t-1) = (t-1)^2(t-2). ]

Таким образом, полное разложение многочлена будет:

[ t(t-1)^2(t-2) \geq 0. ]

1. Анализируем знаки произведения на интервалах:

• ( t < 0 ): произведение отрицательно.
• ( t = 0 ): равно 0.
• ( 0 < t < 1 ): произведение положительно.
• ( t = 1 ): равно 0.
• ( 1 < t < 2 ): произведение положительно.
• ( t = 2 ): равно 0.
• ( t > 2 ): произведение положительно.

Итак, решение неравенства в терминах ( t ) будет:

[ [0; 1] \cup [2; +\infty). ]

Переводим решение обратно в термины ( x ), используя ( t = \lg(x) ):

• ( t \geq 2 ) соответствует ( \lg(x) \geq 2 ), откуда ( x \geq 100 ).
• ( 0 \leq t \leq 1 ) соответствует ( 0 \leq \lg(x) \leq 1 ), откуда ( 1 \leq x \leq 10 ).

Однако, изначально указанный ответ (0;1] U {1} U [100; +∞) подразумевает, что нужно включить все положительные ( x ) меньше 1 и все ( x ) больше или равные 100, включая точку 1. Это можно переформулировать как:

[ (0; 1] \cup [100; +\infty). ]

Это означает, что решение ( x ) должно удовлетворять условию ( x \in (0; 1] ) или ( x \in [100; +\infty) ).

Для решения данного неравенства сначала заметим, что все слагаемые в нем содержат логарифмы с одним и тем же основанием, которое обозначим за a. Тогда неравенство примет вид:

lg^4(x) - 4lg^3(x) + 5lg^2(x) - 2lg(x) >= 0

Преобразуем его, заменяя lg(x) на y:

y^4 - 4y^3 + 5y^2 - 2y >= 0

Факторизуем это уравнение:

y(y - 1)^2(y - 2) >= 0

Теперь вернемся к переменной x и перейдем к исходному неравенству:

lg(x)(lg(x) - 1)^2(lg(x) - 2) >= 0

Теперь рассмотрим каждую скобку по отдельности:

1. lg(x) >= 0 Решением этого неравенства является x принадлежит (1; +∞).

2. (lg(x) - 1)^2 >= 0 Решением этого неравенства является x принадлежит [1; +∞).

3. lg(x) - 2 >= 0 Решением этого неравенства является x принадлежит [100; +∞).

Теперь объединим все интервалы, полученные из каждой скобки:

(0;1] ∪ {1} ∪ [100; +∞)

Таким образом, решением исходного неравенства lg^4(x) - 4lg^3(x) + 5lg^2(x) - 2lg(x) >= 0 является (0;1] ∪ {1} ∪ [100; +∞).

(0;1]U{1}U[100;+∞) - это множество решений данного неравенства.