Помогите решить lg^2x+2lgx=8

Давайте решим уравнение ( \lg^2 x + 2 \lg x = 8 ).

1. Замена переменной: Упростим это уравнение, введя замену переменной. Пусть ( y = \lg x ). Тогда уравнение станет: [ y^2 + 2y = 8. ]

2. Решение квадратного уравнения: Преобразуем уравнение к стандартному виду: [ y^2 + 2y - 8 = 0. ] Это квадратное уравнение, которое мы можем решить с помощью дискриминанта или формулы корней.

3. Нахождение дискриминанта: Дискриминант ( D ) квадратного уравнения ( y^2 + 2y - 8 = 0 ) равен: [ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36. ]

4. Нахождение корней: Корни квадратного уравнения находятся по формуле: [ y{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. ] Подставляя наши значения, получаем: [ y{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2}. ] Это дает нам два решения: [ y_1 = \frac{4}{2} = 2, ] [ y_2 = \frac{-8}{2} = -4. ]

5. Возврат к оригинальной переменной: Теперь вернемся к переменной ( x ). Поскольку ( y = \lg x ), у нас есть:

   • Для ( y_1 = 2 ): [ \lg x = 2 \implies x = 10^2 = 100. ]
   • Для ( y_2 = -4 ): [ \lg x = -4 \implies x = 10^{-4} = 0.0001. ]

6. Ответ: Уравнение имеет два решения: ( x = 100 ) и ( x = 0.0001 ).

Для решения уравнения lg^2x + 2lgx = 8 нужно преобразовать его к более простому виду. Начнем с замены переменной: обозначим lgx за t. Тогда уравнение примет вид t^2 + 2t = 8.

Далее, преобразуем уравнение к квадратному виду: t^2 + 2t - 8 = 0. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: D = 2^2 - 41(-8) = 36. Так как D > 0, у уравнения два корня: t1 = (-2 + √36) / 2 = 2, t2 = (-2 - √36) / 2 = -4.

Теперь найдем значения x. Используем обратную функцию к lg, а именно 10^x = y. Тогда получаем два решения: x1 = 10^2 = 100 и x2 = 10^-4 = 0.0001.

Итак, уравнение lg^2x + 2lgx = 8 имеет два решения: x1 = 100 и x2 = 0.0001.

lg^2x + 2lgx = 8 lgx(lgx + 2) = 8 lgx(lgx + 2) = lg 10^8 lgx(lgx + 2) = lg 100000000 lgx(lgx + 2) = lg 10^8 lgx(lgx + 2) = 8 lgx = 1 or lgx + 2 = 1 x = 10 or x = 10^(-1)