Помогите пожалуйста решить 3^cosx/9^cos^2x = 4^2cos^2 x - cosx

Для решения уравнения 3^cosx / 9^cos^2x = 4^2cos^2 x - cosx можно воспользоваться заменой: 3^cosx = $3^{c}osx$^2 / 3 = 9^cos^2x / 3 = 3^$2co{s}^{2}x$ / 3 = 3^$2co{s}^{2}x-1$. Подставив эту замену в уравнение и приведя подобные члены, получим квадратное уравнение относительно cosx. Решив это уравнение, найдем значения cosx, удовлетворяющие исходному уравнению.

Для решения данного уравнения воспользуемся следующими свойствами степеней:

1. $a^{m+n}=a^m\cdot a^n$
2. $a^{m-n}=\frac{a^m}{a^n}$

Также воспользуемся тем, что ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$.

Имеем:

$\frac{3^{\cos x}}{9^{{\cos }^{2}x}}=4^{2{\cos }^{2}x}-\cos x$.

Заменим $9$ на $3^2$:

$\frac{3^{\cos x}}{(3^2{)}^{{\cos }^{2}x}}=4^{2{\cos }^{2}x}-\cos x$.

Пользуясь свойством степени, получаем:

$3^{\cos x-2{\cos }^{2}x}=4^{2{\cos }^{2}x}-\cos x$.

Далее раскроем скобки в выражении $cosx-2co{s}^{2}x=2co{s}^{2}x-cosx-co{s}^{2}x$:

$3^{2co{s}^{2}x-cosx-co{s}^{2}x}=4^{2co{s}^{2}x}-cosx$.

Далее заменим ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$:

$3^{2(1-{\sin }^{2}x)-cosx-co{s}^{2}x}=4^{2co{s}^{2}x}-cosx$.

$3^{2-2{\sin }^{2}x-cosx-co{s}^{2}x}=4^{2co{s}^{2}x}-cosx$.

$3^{2-2{\sin }^{2}x-cosx-(1-{\sin }^{2}x)}=4^{2co{s}^{2}x}-cosx$.

$3^{1-{\sin }^{2}x-cosx}=4^{2co{s}^{2}x}-cosx$.

Таким образом, уравнение принимает вид: $3^{1-{\sin }^{2}x-cosx}=4^{2co{s}^{2}x}-cosx$.

Для решения данного уравнения начнем с упрощения левой части:

$\frac{3^{\cos x}}{9^{{\cos }^{2}x}}=\frac{3^{\cos x}}{(3^2{)}^{{\cos }^{2}x}}=\frac{3^{\cos x}}{3^{2{\cos }^{2}x}}=3^{\cos x-2{\cos }^{2}x}$

Теперь уравнение примет вид:

$3^{\cos x-2{\cos }^{2}x}=4^{2{\cos }^{2}x-\cos x}$

Прологарифмируем обе стороны:

$\cos x-2{\cos }^{2}x=(2{\cos }^{2}x-\cos x){\log }_{4}3$

Применяя свойство логарифма ${\log }_{b}a=\frac{{\log }_{c}a}{{\log }_{c}b}$, получаем:

$\cos x-2{\cos }^{2}x=(2{\cos }^{2}x-\cos x)\frac{\log 3}{\log 4}$

Обозначим $y=\cos x$ и упростим уравнение:

$y-2y^2=(2y^2-y)\frac{\log 3}{\log 4}$

Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в одну сторону:

$y-2y^2-(2y^2-y)\frac{\log 3}{\log 4}=0$

$y(1+\frac{\log 3}{\log 4})-y^2(2+2\frac{\log 3}{\log 4})=0$

Вынесем $y$ за скобку:

$y(1+\frac{\log 3}{\log 4}-2y(2+2\frac{\log 3}{\log 4}))=0$

Отсюда следует, что возможны два случая:

1. $y=0$
2. $1+\frac{\log 3}{\log 4}-2y(2+2\frac{\log 3}{\log 4}$ = 0 )

Из первого случая:

$y=\cos x=0$ $x=\frac{\pi }{2}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$

Из второго случая:

$2y(2+2\frac{\log 3}{\log 4})=1+\frac{\log 3}{\log 4}$ $y=\frac{1+\frac{\log 3}{\log 4}}{2(2+2\frac{\log 3}{\log 4})}$

Это значение должно удовлетворять условию $-1\le y\le 1$. Можно подставить численные значения и проверить, удовлетворяет ли найденное значение $y$ этому интервалу. Если да, то можно найти соответствующие значения $x$ через $x=\arccos (y$ + 2\pi k), $k\in \mathbb{Z}$.