Помогите пожалуйста решить 3^cosx/9^cos^2x = 4^2cos^2 x - cosx

Тематика Математика
Уровень 10 - 11 классы
математика уравнения тригонометрия косинус экспоненциальные уравнения
0

помогите пожалуйста решить 3^cosx/9^cos^2x = 4^2cos^2 x - cosx

avatar
задан 11 месяцев назад

3 Ответа

0

Для решения уравнения 3^cosx / 9^cos^2x = 4^2cos^2 x - cosx можно воспользоваться заменой: 3^cosx = 3cosx^2 / 3 = 9^cos^2x / 3 = 3^2cos2x / 3 = 3^2cos2x1. Подставив эту замену в уравнение и приведя подобные члены, получим квадратное уравнение относительно cosx. Решив это уравнение, найдем значения cosx, удовлетворяющие исходному уравнению.

avatar
ответил 11 месяцев назад
0

Для решения данного уравнения воспользуемся следующими свойствами степеней:

  1. am+n=aman
  2. amn=aman

Также воспользуемся тем, что cos2x=1sin2x.

Имеем:

3cosx9cos2x=42cos2xcosx.

Заменим 9 на 32:

3cosx(32)cos2x=42cos2xcosx.

Пользуясь свойством степени, получаем:

3cosx2cos2x=42cos2xcosx.

Далее раскроем скобки в выражении cosx2cos2x=2cos2xcosxcos2x:

32cos2xcosxcos2x=42cos2xcosx.

Далее заменим cos2x=1sin2x:

32(1sin2x)cosxcos2x=42cos2xcosx.

322sin2xcosxcos2x=42cos2xcosx.

322sin2xcosx(1sin2x)=42cos2xcosx.

31sin2xcosx=42cos2xcosx.

Таким образом, уравнение принимает вид: 31sin2xcosx=42cos2xcosx.

avatar
ответил 11 месяцев назад
0

Для решения данного уравнения начнем с упрощения левой части:

3cosx9cos2x=3cosx(32)cos2x=3cosx32cos2x=3cosx2cos2x

Теперь уравнение примет вид:

3cosx2cos2x=42cos2xcosx

Прологарифмируем обе стороны:

cosx2cos2x=(2cos2xcosx)log43

Применяя свойство логарифма logba=logcalogcb, получаем:

cosx2cos2x=(2cos2xcosx)log3log4

Обозначим y=cosx и упростим уравнение:

y2y2=(2y2y)log3log4

Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в одну сторону:

y2y2(2y2y)log3log4=0

y(1+log3log4)y2(2+2log3log4)=0

Вынесем y за скобку:

y(1+log3log42y(2+2log3log4))=0

Отсюда следует, что возможны два случая:

  1. y=0
  2. 1+log3log42y(2+2log3log4 = 0 )

Из первого случая:

y=cosx=0 x=π2+πk,kZ

Из второго случая:

2y(2+2log3log4)=1+log3log4 y=1+log3log42(2+2log3log4)

Это значение должно удовлетворять условию 1y1. Можно подставить численные значения и проверить, удовлетворяет ли найденное значение y этому интервалу. Если да, то можно найти соответствующие значения x через x=arccos(y + 2\pi k), kZ.

avatar
ответил 11 месяцев назад

Ваш ответ