Помогите пожалуйста: Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=x3, осью Ох и прямыми x=0,...

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции ( y = x^3 ), осью ( Ox ) и прямыми ( x = 0 ) и ( x = 2 ), нам нужно вычислить определенный интеграл от функции ( y = x^3 ) на интервале от 0 до 2.

Шаги решения:

1. Определение интеграла: Функция, ограничивающая фигуру сверху, — это ( y = x^3 ). Поскольку фигура ограничена также осью ( Ox ), нам нужно вычислить интеграл функции ( y = x^3 ) от 0 до 2:

   [ \int_{0}^{2} x^3 \, dx ]

2. Нахождение первообразной: Первообразная для функции ( x^3 ) — это ( \frac{x^4}{4} ). Это следует из правила интегрирования степенной функции: если ( f(x) = x^n ), то (\int f(x) \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C), где ( C ) — произвольная постоянная.

3. Вычисление определенного интеграла: Подставляем пределы интегрирования в первообразную:

   [ \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} = \frac{2^4}{4} - \frac{0^4}{4} ]

   Вычислим:

   [ \frac{2^4}{4} = \frac{16}{4} = 4 ]

   [ \frac{0^4}{4} = 0 ]

   Таким образом, результат:

   [ 4 - 0 = 4 ]

Итак, площадь фигуры, ограниченной графиком функции ( y = x^3 ), осью ( Ox ) и прямыми ( x = 0 ) и ( x = 2 ), равна 4 квадратным единицам.

Данная фигура ограничена графиком функции y=x^3, осью Ox и прямыми x=0 и x=2. Для нахождения площади этой фигуры необходимо вычислить определенный интеграл функции y=x^3 на отрезке [0,2] и затем вычесть площадь треугольника, образованного осью Ox и прямыми x=0 и x=2.

Интегрируем функцию y=x^3 на отрезке [0,2]: ∫(x^3)dx = x^4/4 | от 0 до 2 = 2^4/4 - 0 = 16/4 = 4

Площадь треугольника, образованного осью Ox и прямыми x=0 и x=2: S = (1/2) основание высота = (1/2) 2 8 = 8

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=x^3, осью Ox и прямыми x=0, x=2, равна: S = 4 - 8 = -4

Итак, площадь этой фигуры равна -4.