Плоскость бета пересекает стороны AB и АС треугольника АВС в точках N и D соответственно и параллельна...

Рассмотрим треугольник (ABC), в котором плоскость (\beta) пересекает стороны (AB) и (AC) в точках (N) и (D) соответственно, при этом плоскость (\beta) параллельна стороне (BC).

Из условия известно:

• (AD = 3 \text{ см})
• Отношение ( \frac{DN}{CB} = \frac{3}{4} )

Поскольку плоскость (\beta) параллельна стороне (BC), треугольники (AND) и (ABC) будут подобны по признаку подобия треугольников (две стороны пропорциональны и углы между ними равны).

Обозначим длину стороны (AC) через (x). В данном случае (AD) является частью (AC), и (D) делит (AC) на два отрезка: (AD) и (DC).

Из подобия треугольников (AND) и (ABC), можно записать отношения: [ \frac{AD}{AC} = \frac{AN}{AB} = \frac{ND}{BC} ]

Нам известно, что (AD = 3 \text{ см}) и (DN/CB = 3/4). Поскольку (DN) является частью (ND), то: [ DN = \frac{3}{4} BC ]

Из подобия треугольников следует, что: [ \frac{AD}{AC} = \frac{DN}{BC} ]

Подставим известные величины: [ \frac{3}{x} = \frac{3}{4} ]

Теперь решим это уравнение: [ \frac{3}{x} = \frac{3}{4} ] [ 3 \cdot 4 = 3 \cdot x ] [ 12 = 3x ] [ x = \frac{12}{3} ] [ x = 4 ]

Таким образом, длина стороны (AC) составляет (4 \text{ см}).

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Талеса. Поскольку плоскость бета параллельна стороне ВС треугольника ABC, то уголы АDN и CBN будут соответственно равными. Также из условия DN/CB=3/4 следует, что DN равно 3/4 от CB.

Поскольку угол АDN и CBN равны, то треугольники ADN и CBN подобны по признаку углов. Таким образом, мы можем записать пропорцию для отношения сторон:

AD/DN = AC/CB

Из условия AD=3см и DN=3/4*CB, подставляем значения и получаем:

3 / (3/4)*CB = AC / CB

Упрощаем выражение:

3 * (4/3) = AC

AC = 4 см

Таким образом, длина стороны AC треугольника АВС равна 4 см.

Из данной информации следует, что DN = 3/7 CB и NC = 4/7 CB. Так как AD + DN = AN, то AN = 3 + 3/7 CB. Так как AB = AN + NC = AN + 4/7 CB, то АС = 3 + 3/7 CB + 4/7 CB = 3 + CB.