Первый и второй насосы наполняют бассейн за 6 минут, второй и третий- за 7 минут, а первый и третий-...

За 3 минуты.

Чтобы решить эту задачу, нам нужно определить, с какой скоростью каждый насос наполняет бассейн, а затем найти общую скорость заполнения бассейна, когда все три насоса работают вместе.

Обозначим:

• ( \frac{1}{A} ) - скорость наполнения бассейна первым насосом (доля бассейна, которую первый насос наполняет за 1 минуту),
• ( \frac{1}{B} ) - скорость наполнения бассейна вторым насосом,
• ( \frac{1}{C} ) - скорость наполнения бассейна третьим насосом.

Из условия задачи мы имеем:

1. Первый и второй насосы вместе наполняют бассейн за 6 минут: [ \frac{1}{A} + \frac{1}{B} = \frac{1}{6} ]

2. Второй и третий насосы вместе наполняют бассейн за 7 минут: [ \frac{1}{B} + \frac{1}{C} = \frac{1}{7} ]

3. Первый и третий насосы вместе наполняют бассейн за 21 минуту: [ \frac{1}{A} + \frac{1}{C} = \frac{1}{21} ]

Нам нужно найти, за какое время все три насоса вместе наполнят бассейн, то есть: [ \frac{1}{A} + \frac{1}{B} + \frac{1}{C} ]

Для этого сложим все три уравнения: [ \left( \frac{1}{A} + \frac{1}{B} \right) + \left( \frac{1}{B} + \frac{1}{C} \right) + \left( \frac{1}{A} + \frac{1}{C} \right) = \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{21} ]

Упрощаем левую часть: [ 2 \left( \frac{1}{A} + \frac{1}{B} + \frac{1}{C} \right) = \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{21} ]

Теперь найдем общий знаменатель для правой части: Наименьший общий знаменатель для 6, 7 и 21 - это 42, поэтому: [ \frac{1}{6} = \frac{7}{42} ] [ \frac{1}{7} = \frac{6}{42} ] [ \frac{1}{21} = \frac{2}{42} ]

Сложим эти дроби: [ \frac{7}{42} + \frac{6}{42} + \frac{2}{42} = \frac{15}{42} ]

Теперь уравнение выглядит так: [ 2 \left( \frac{1}{A} + \frac{1}{B} + \frac{1}{C} \right) = \frac{15}{42} ]

Упростим правую часть: [ \frac{15}{42} = \frac{5}{14} ]

Таким образом: [ 2 \left( \frac{1}{A} + \frac{1}{B} + \frac{1}{C} \right) = \frac{5}{14} ]

Разделим обе части на 2: [ \frac{1}{A} + \frac{1}{B} + \frac{1}{C} = \frac{5}{28} ]

Это и есть общая скорость заполнения бассейна тремя насосами. Теперь найдем время, за которое они вместе наполнят бассейн: [ T = \frac{1}{\frac{5}{28}} = \frac{28}{5} = 5.6 ]

Таким образом, три насоса, работая вместе, наполнят бассейн за 5.6 минут.

Для решения данной задачи можно воспользоваться методом обратных величин.

Обозначим скорость работы каждого насоса как 1/х, где х - время, за которое каждый насос заполнит бассейн самостоятельно.

Тогда по условию задачи имеем систему уравнений:

1/х + 1/у = 1/6, 1/у + 1/z = 1/7, 1/x + 1/z = 1/21.

Где x, y, z - время, за которое первый, второй и третий насосы заполняют бассейн самостоятельно.

Решив данную систему уравнений, получим: x = 12, y = 14, z = 42.

Таким образом, время, за которое три насоса заполнят бассейн, работая вместе, равно 12 минутам.