Пе ри метр рав но бед рен но го тре уголь ни ка равен 216, а бо ко вая сто ро на — 78. Най ди те пло...

Для решения задачи сначала необходимо определить, что такое равнобедренный треугольник. В равнобедренном треугольнике две стороны равны, а третья сторона называется основанием. В данной задаче известно, что периметр равен 216, а боковая сторона равна 78.

1. Определим количество сторон: Пусть боковые стороны равнобедренного треугольника равны ( a ), а основание — ( b ). В данном случае: [ a = 78 ] Периметр равен: [ P = a + a + b = 2a + b ] Подставим известные значения: [ 216 = 2 \cdot 78 + b ] [ 216 = 156 + b ] Теперь найдем ( b ): [ b = 216 - 156 = 60 ]

2. Теперь у нас есть все стороны треугольника: Боковые стороны ( a = 78 ) и основание ( b = 60 ).

3. Для нахождения площади треугольника воспользуемся формулой Герона: Сначала найдем полупериметр ( s ): [ s = \frac{P}{2} = \frac{216}{2} = 108 ]

4. Теперь применим формулу Герона: Площадь ( S ) равнобедренного треугольника можно вычислить по формуле: [ S = \sqrt{s \cdot (s - a) \cdot (s - a) \cdot (s - b)} ] Подставим значения: [ S = \sqrt{108 \cdot (108 - 78) \cdot (108 - 78) \cdot (108 - 60)} ] [ S = \sqrt{108 \cdot 30 \cdot 30 \cdot 48} ]

5. Вычислим каждое выражение: Сначала найдем ( s - a ) и ( s - b ): [ s - a = 108 - 78 = 30 ] [ s - b = 108 - 60 = 48 ]

6. Теперь подставим эти значения в формулу площади: [ S = \sqrt{108 \cdot 30^2 \cdot 48} ] [ S = \sqrt{108 \cdot 900 \cdot 48} ] [ S = \sqrt{4867200} ]

7. Теперь упростим вычисления: [ S = \sqrt{4867200} = 2204.4 \text{ (приблизительно)} ]

Таким образом, площадь равнобедренного треугольника с заданными параметрами примерно равна ( 2204.4 ) квадратных единиц.

Давайте решим задачу пошагово.

Дано:

1. Периметр равнобедренного треугольника: ( P = 216 ).
2. Боковая сторона: ( b = 78 ).

Нужно найти площадь треугольника.

Шаг 1: Найдём длину основания треугольника

У равнобедренного треугольника две боковые стороны равны, а третья сторона — основание (( a )).

Периметр равен сумме всех сторон: [ P = b + b + a. ] Подставим известные значения: [ 216 = 78 + 78 + a. ] Рассчитаем длину основания (( a )): [ a = 216 - 78 - 78 = 60. ]

Итак, основание треугольника ( a = 60 ).

Шаг 2: Найдём высоту, проведённую к основанию

Площадь треугольника вычисляется по формуле: [ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h, ] где ( h ) — высота, проведённая к основанию ( a ). Нам нужно найти ( h ).

Поскольку треугольник равнобедренный, высота, опущенная на основание, делит его пополам. Следовательно, каждая из половин основания равна: [ \frac{a}{2} = \frac{60}{2} = 30. ]

Рассмотрим один из образовавшихся прямоугольных треугольников. У него:

• гипотенуза — боковая сторона ( b = 78 ),
• один из катетов — половина основания ( \frac{a}{2} = 30 ),
• другой катет — высота ( h ), которую мы ищем.

Применим теорему Пифагора: [ b^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2. ] Подставим известные значения: [ 78^2 = h^2 + 30^2. ] Вычислим: [ 78^2 = 6084, \quad 30^2 = 900. ] Подставим и найдем ( h^2 ): [ 6084 = h^2 + 900, \quad h^2 = 6084 - 900 = 5184. ] Извлечём корень: [ h = \sqrt{5184} = 72. ]

Итак, высота ( h = 72 ).

Шаг 3: Найдём площадь треугольника

Теперь используем формулу для площади: [ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h. ] Подставим значения ( a = 60 ) и ( h = 72 ): [ S = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 72 = 30 \cdot 72 = 2160. ]

Ответ:

Площадь треугольника равна ( \mathbf{2160} ).