Основание равнобедренной трапеции равны 9 и 51, боковая сторона 75, найти длину диагонали

Для решения задачи найдем длину диагонали равнобедренной трапеции, используя известные данные: основание трапеции равны (a = 9) и (b = 51), боковая сторона (c = 75).

1. Свойства равнобедренной трапеции

Равнобедренная трапеция обладает следующими свойствами:

• Боковые стороны равны ((c_1 = c_2 = c)).
• Углы при основаниях равны.
• Диагонали равны по длине.

Итак, нам нужно вычислить длину диагонали (d). Для этого используем геометрические методы и свойства трапеции.

2. Разбиение трапеции на треугольники

Рассмотрим равнобедренную трапецию (ABCD), где:

• (AB = 51) — большее основание,
• (CD = 9) — меньшее основание,
• (BC = AD = 75) — боковые стороны.

Проведем диагональ (AC). Она делит трапецию на два треугольника. Заметим, что равнобедренная трапеция симметрична, поэтому высота, проведенная из вершины (например, (C)) к основанию (AB), делит трапецию на две равные части. Обозначим высоту за (h).

3. Найдем высоту (h)

Для вычисления диагонали удобно сначала найти высоту трапеции. Разобьем трапецию на три части:

• Прямоугольник в центре с длиной (CD = 9),
• Два прямоугольных треугольника на концах трапеции.

Разница между основаниями трапеции равна: [ AB - CD = 51 - 9 = 42. ] Так как трапеция равнобедренная, то каждая из двух боковых частей, которые образуют прямоугольные треугольники, имеет длину: [ \frac{42}{2} = 21. ]

В прямоугольном треугольнике, образованном боковой стороной (c = 75), высотой (h) и половиной разницы оснований ((21)), по теореме Пифагора имеем: [ c^2 = h^2 + 21^2. ] Подставим значения: [ 75^2 = h^2 + 21^2. ] [ 5625 = h^2 + 441. ] [ h^2 = 5625 - 441 = 5184. ] [ h = \sqrt{5184} = 72. ]

Итак, высота трапеции (h = 72).

4. Найдем длину диагонали

Теперь используем теорему Пифагора для треугольника (ACD), где:

• (AC) — диагональ трапеции ((d)),
• (CD = 9) — меньшее основание,
• Высота (h = 72).

Диагональ (AC) соединяет вершины (A) и (C), и её длина рассчитывается как гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами:

1. Половина разницы между основаниями ((21)),
2. Высота (h = 72).

По теореме Пифагора: [ d^2 = h^2 + \left(\frac{AB - CD}{2}\right)^2. ] Подставим значения: [ d^2 = 72^2 + 21^2. ] [ d^2 = 5184 + 441. ] [ d^2 = 5625. ] [ d = \sqrt{5625} = 75. ]

Ответ:

Длина диагонали равнобедренной трапеции равна (75).

Для нахождения длины диагонали равнобедренной трапеции, давайте обозначим её основание ( AB = 51 ) (большее основание), ( CD = 9 ) (меньшее основание) и боковые стороны ( AD = BC = 75 ).

1. Ищем высоту трапеции: Для начала, проведем высоту ( h ) из точек ( C ) и ( D ) на основание ( AB ). Обозначим точки пересечения высот с основанием ( AB ) как ( H ) и ( G ).

2. Обозначим расстояние: Пусть расстояние от точки ( A ) до точки ( H ) равно ( x ). Тогда расстояние от точки ( B ) до точки ( G ) будет равно ( 51 - x ).

3. Используем теорему Пифагора: Мы можем рассмотреть треугольник ( ADH ): [ AD^2 = AH^2 + HD^2 ] Здесь ( AD = 75 ), ( AH = x ) и ( HD = h ). Также высота ( HD = h ) равна высоте, проведенной из точки ( C ) до основания ( AB ).

4. Работаем с треугольником ( CDG ): Аналогично, мы можем записать для этого треугольника: [ BC^2 = BG^2 + GC^2 ] Здесь ( BC = 75 ), ( BG = 51 - x ) и ( GC = h ).

5. Система уравнений: Теперь у нас есть две системы уравнений: [ 75^2 = x^2 + h^2 \quad (1) ] [ 75^2 = (51 - x)^2 + h^2 \quad (2) ]

6. Решаем уравнения: Из уравнения (1) выразим ( h^2 ): [ h^2 = 75^2 - x^2 ] Подставим ( h^2 ) в уравнение (2): [ 75^2 = (51 - x)^2 + (75^2 - x^2) ] Упростим это уравнение: [ 0 = (51 - x)^2 - x^2 ] [ 0 = 51^2 - 102x + x^2 - x^2 ] [ 0 = 2601 - 102x ] Отсюда находим ( x ): [ 102x = 2601 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{2601}{102} = 25.5 ]

7. Находим высоту ( h ): Подставим ( x ) обратно в уравнение (1): [ h^2 = 75^2 - (25.5)^2 ] [ h^2 = 5625 - 650.25 = 4974.75 ] [ h = \sqrt{4974.75} \approx 70.5 ]

8. Находим длину диагонали: Теперь можно найти длину диагонали ( AC ) с использованием теоремы Пифагора в треугольнике ( AHC ): [ AC^2 = AH^2 + h^2 ] Подставим значения: [ AC^2 = (25.5)^2 + (70.5)^2 ] [ AC^2 = 650.25 + 4974.75 = 5625 ] [ AC = \sqrt{5625} = 75 ]

Таким образом, длина диагонали равнобедренной трапеции составляет 75.