Основания равнобокой трапеции равны 12 см и 20 см, а диагональ является биссектрисой её тупого угла. Вычислите площадь трапеции.
Основания равнобокой трапеции равны 12 см и 20 см, а диагональ является биссектрисой её тупого угла. Вычислите площадь трапеции.
Для решения задачи используем свойства равнобокой трапеции и свойство диагонали как биссектрисы угла.
Пусть (AB) и (CD) - основания равнобокой трапеции, где (AB = 20) см, (CD = 12) см, и пусть (AD) и (BC) - равные боковые стороны.
Поскольку диагональ (AC) является биссектрисой тупого угла (DAC), треугольники (ADC) и (BAC) подобны (по двум углам: общему углу при вершине (A) и прямым углам при вершинах (D) и (B), так как боковые стороны перпендикулярны основаниям).
Из подобия следует, что отношение сторон в треугольниках одинаково, то есть [ \frac{AD}{AB} = \frac{DC}{AC} \quad \text{и} \quad \frac{AC}{BC} = \frac{DC}{AC}. ] Так как (AB = 20) см, (CD = 12) см, найдем (AC) и (BC). Пусть (x) - длина (AC). Тогда: [ \frac{12}{x} = \frac{x}{(20 - 12)} = \frac{x}{8}. ] Отсюда (x^2 = 96), следовательно, (x = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}) см.
Площадь трапеции можно вычислить по формуле: [ S = \frac{1}{2} \times (AB + CD) \times h, ] где (h) - высота трапеции. Высота трапеции равна длине перпендикуляра из любой точки на одной боковой стороне к противоположной боковой стороне. Из подобия треугольников (ADC) и (BAC) и используя соотношение сторон, найдем (h): [ h = \frac{12 \times 8}{4\sqrt{6}} = \frac{96}{4\sqrt{6}} = \frac{24\sqrt{6}}{6} = 4\sqrt{6} \quad \text{см}. ]
Тогда площадь трапеции: [ S = \frac{1}{2} \times (20 + 12) \times 4\sqrt{6} = 16 \times 4\sqrt{6} = 64\sqrt{6} \quad \text{см}^2. ]
Таким образом, площадь данной равнобокой трапеции составляет (64\sqrt{6}) квадратных сантиметров.
Для решения данной задачи нам необходимо найти высоту трапеции. Поскольку диагональ является биссектрисой тупого угла, то она делит трапецию на два равных прямоугольных треугольника. Поэтому мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения высоты.
Пусть h - высота трапеции. Тогда по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами 6 (половина основания) и h и гипотенузой 10 (половина диагонали) получаем: h^2 + 6^2 = 10^2 h^2 + 36 = 100 h^2 = 64 h = 8
Теперь мы можем найти площадь трапеции, используя формулу: S = ((a + b) / 2) * h, где a и b - основания трапеции, h - высота.
S = ((12 + 20) / 2) 8 S = (32 / 2) 8 S = 16 * 8 S = 128
Ответ: площадь равнобокой трапеции равна 128 квадратных сантиметров.
