Определите промежутки монотоности функции y=x^2-x

Функция y=x^2-x является квадратичной функцией. Чтобы определить ее монотонность, необходимо найти производную функции и выяснить знак этой производной на интервалах.

Для функции y=x^2-x первая производная будет равна y'=2x-1. Далее, чтобы определить знак производной на интервалах, необходимо решить неравенство 2x-1>0, т.е. x>1/2. Таким образом, функция y=x^2-x монотонно возрастает на интервале (1/2, +∞) и монотонно убывает на интервале (-∞, 1/2).

Чтобы определить промежутки монотонности функции ( y = x^2 - x ), необходимо выполнить несколько шагов:

1. Найти производную функции:

   Производная функции ( y = x^2 - x ) находится по стандартным правилам дифференцирования: [ y' = \frac{d}{dx}(x^2 - x) = 2x - 1 ]

2. Найти критические точки:

   Критические точки находятся путем решения уравнения ( y' = 0 ): [ 2x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2} ]

3. Определить знаки производной на промежутках, определяемых критическими точками:

   Теперь нужно исследовать знак производной ( y' = 2x - 1 ) на промежутках, которые получаются, если разбить числовую ось в точке ( x = \frac{1}{2} ).

   • Для ( x < \frac{1}{2} ): Если ( x < \frac{1}{2} ), то ( 2x - 1 < 0 ). Следовательно, на этом промежутке производная отрицательна, и функция убывает.

   • Для ( x > \frac{1}{2} ): Если ( x > \frac{1}{2} ), то ( 2x - 1 > 0 ). Следовательно, на этом промежутке производная положительна, и функция возрастает.

4. Записать промежутки монотонности:

   Исходя из анализа знаков производной, можно сделать вывод о промежутках монотонности функции ( y = x^2 - x ):

   • Функция убывает на промежутке ( (-\infty, \frac{1}{2}) ).
   • Функция возрастает на промежутке ( (\frac{1}{2}, +\infty) ).

Таким образом, промежутки монотонности функции ( y = x^2 - x ) следующие:

• Убывание: ( x \in (-\infty, \frac{1}{2}) )
• Возрастание: ( x \in (\frac{1}{2}, +\infty) )

В точке ( x = \frac{1}{2} ) функция меняет свое поведение с убывания на возрастание, что указывает на наличие минимума в этой точке.