Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма короткого катета и гипотенузы равна...

Для решения данной задачи воспользуемся тригонометрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике.

Пусть короткий катет равен (a), гипотенуза равна (c), а угол между коротким катетом и гипотенузой равен 60°. Тогда, по теореме синусов, имеем: [\frac{a}{\sin{60^\circ}} = \frac{c}{\sin{90^\circ}}] [a = c \cdot \frac{\sin{60^\circ}}{\sin{90^\circ}} = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}]

Также из условия задачи известно, что (a + c = 36). Подставим найденное выражение для (a) и решим уравнение: [c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + c = 36] [c \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2} + 1) = 36] [c = \frac{36}{\frac{\sqrt{3}}{2} + 1} = \frac{36 \cdot 2}{\sqrt{3} + 2} = \frac{72}{\sqrt{3} + 2}] [c = \frac{72(\sqrt{3} - 2)}{(\sqrt{3} + 2)(\sqrt{3} - 2)} = \frac{72\sqrt{3} - 144}{3 - 4} = 72\sqrt{3} - 144]

Теперь найдем значение короткого катета (a): [a = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = (72\sqrt{3} - 144) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 36\sqrt{3} - 72]

Итак, длина короткого катета равна (36\sqrt{3} - 72) см.

Чтобы решить эту задачу, необходимо использовать свойства прямоугольного треугольника и тригонометрические функции.

Дано:

• Один из острых углов треугольника равен (60^\circ).
• Сумма длины короткого катета и гипотенузы равна 36 см.

Обозначим:

• (a) — длина короткого катета.
• (b) — длина другого катета.
• (c) — длина гипотенузы.

Так как один из углов равен (60^\circ), то другой острый угол равен (30^\circ) (поскольку сумма углов в треугольнике равна (180^\circ), а прямой угол (90^\circ)).

В прямоугольном треугольнике с углами (30^\circ) и (60^\circ) существуют следующие соотношения:

• Сторона, лежащая напротив угла (30^\circ) (короткий катет), равна половине гипотенузы: (a = \frac{c}{2}).
• Сторона, лежащая напротив угла (60^\circ) (длинный катет), равна (\frac{\sqrt{3}}{2}) гипотенузы: (b = \frac{\sqrt{3}}{2}c).

Нам известно, что сумма длин короткого катета и гипотенузы равна 36 см: [ a + c = 36. ]

Подставим выражение для (a) в уравнение: [ \frac{c}{2} + c = 36. ]

Упростим это уравнение: [ \frac{c}{2} + \frac{2c}{2} = 36, ] [ \frac{3c}{2} = 36. ]

Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби: [ 3c = 72. ]

Разделим обе стороны уравнения на 3: [ c = 24. ]

Теперь, когда мы знаем длину гипотенузы, найдем длину короткого катета: [ a = \frac{c}{2} = \frac{24}{2} = 12. ]

Таким образом, длина короткого катета равна 12 см.