Напишите общий члены последовательности 1) 1,1/4,1/9,1/16. 2) 1,7,13,19. 3)2,4,8,16,32. 4)1,7,17,31....

1) 1) Общий член последовательности 1, 1/4, 1/9, 1/16 можно представить как a_n = 1/(n^2), где n - номер члена последовательности. 2) Общий член последовательности 1, 7, 13, 19 можно представить как a_n = 6n - 5, где n - номер члена последовательности. 3) Общий член последовательности 2, 4, 8, 16, 32 можно представить как a_n = 2^n, где n - номер члена последовательности. 4) Общий член последовательности 1, 7, 17, 31 можно представить как a_n = n^2 + n + 1, где n - номер члена последовательности.

1) 1/n^2 2) 6n+1 3) 2^n 4) n^2 + n

Конечно! Давайте разберём каждый из предложенных примеров последовательностей и найдем их общие члены.

1. Последовательность: 1, 1/4, 1/9, 1/16

Эта последовательность представляет собой дроби, где числитель равен 1, а знаменатель — это квадрат натурального числа.

Общий член этой последовательности можно записать как: [ a_n = \frac{1}{n^2} ] где ( n ) — это номер члена последовательности.

1. Последовательность: 1, 7, 13, 19

Эта последовательность является арифметической прогрессией, где каждый следующий член получается добавлением постоянного числа (разности прогрессии) к предыдущему члену.

Разность прогрессии (d) равна: [ d = 7 - 1 = 6 ]

Общий член арифметической прогрессии можно записать с помощью формулы: [ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d ]

Для данной последовательности: [ a_n = 1 + (n - 1) \cdot 6 = 1 + 6n - 6 = 6n - 5 ]

1. Последовательность: 2, 4, 8, 16, 32

Эта последовательность является геометрической прогрессией, где каждый следующий член получается умножением предыдущего на постоянное число (знаменатель прогрессии).

Знаменатель прогрессии (q) равен: [ q = \frac{4}{2} = 2 ]

Общий член геометрической прогрессии можно записать с помощью формулы: [ a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)} ]

Для данной последовательности: [ a_n = 2 \cdot 2^{(n-1)} = 2^n ]

1. Последовательность: 1, 7, 17, 31

Эта последовательность также является арифметической прогрессией, где каждый следующий член получается добавлением постоянного числа (разности прогрессии) к предыдущему члену.

Разность прогрессии (d) равна: [ d = 7 - 1 = 6 ] [ d = 17 - 7 = 10 ] [ d = 31 - 17 = 14 ]

В данном случае разность прогрессии меняется, и последовательность не является стандартной арифметической прогрессией. Рассмотрим разности первого и второго порядка: [ a_2 - a_1 = 7 - 1 = 6 ] [ a_3 - a_2 = 17 - 7 = 10 ] [ a_4 - a_3 = 31 - 17 = 14 ]

Разности второго порядка: [ (a_3 - a_2) - (a_2 - a_1) = 10 - 6 = 4 ] [ (a_4 - a_3) - (a_3 - a_2) = 14 - 10 = 4 ]

Постоянная разность второго порядка указывает на квадратичную зависимость. Общий член последовательности можно записать в виде: [ a_n = an^2 + bn + c ]

Используем известные члены последовательности для нахождения коэффициентов (a), (b) и (c): [ a_1 = a(1)^2 + b(1) + c = 1 ] [ a + b + c = 1 ] [ a_2 = a(2)^2 + b(2) + c = 7 ] [ 4a + 2b + c = 7 ] [ a_3 = a(3)^2 + b(3) + c = 17 ] [ 9a + 3b + c = 17 ]

Решаем систему уравнений:

1. ( a + b + c = 1 )
2. ( 4a + 2b + c = 7 )
3. ( 9a + 3b + c = 17 )

Вычитаем первое уравнение из второго: [ (4a + 2b + c) - (a + b + c) = 7 - 1 ] [ 3a + b = 6 ]

Вычитаем второе уравнение из третьего: [ (9a + 3b + c) - (4a + 2b + c) = 17 - 7 ] [ 5a + b = 10 ]

Решаем систему:

1. ( 3a + b = 6 )
2. ( 5a + b = 10 )

Вычитаем первое уравнение из второго: [ (5a + b) - (3a + b) = 10 - 6 ] [ 2a = 4 ] [ a = 2 ]

Подставляем (a = 2) в (3a + b = 6): [ 3(2) + b = 6 ] [ 6 + b = 6 ] [ b = 0 ]

Подставляем (a = 2) и (b = 0) в (a + b + c = 1): [ 2 + 0 + c = 1 ] [ c = -1 ]

Таким образом, общий член последовательности: [ a_n = 2n^2 - 1 ]

Итак, общие члены последовательностей:

1. [ a_n = \frac{1}{n^2} ]
2. [ a_n = 6n - 5 ]
3. [ a_n = 2^n ]
4. [ a_n = 2n^2 - 1 ]