Найти значение производной функции f(x)=2-1/корень из x в точке x0=1/4

Для того чтобы найти значение производной функции ( f(x) = 2 - \frac{1}{\sqrt{x}} ) в точке ( x_0 = \frac{1}{4} ), сначала необходимо найти производную функции ( f(x) ), а затем подставить в неё значение ( x_0 ).

Функция ( f(x) ) задана как: [ f(x) = 2 - \frac{1}{\sqrt{x}} ]

Мы можем переписать функцию, используя свойства корней и степеней: [ f(x) = 2 - x^{-\frac{1}{2}} ]

Для нахождения производной используем правило дифференцирования степенной функции. Производная функции ( x^n ) равна ( nx^{n-1} ). Применим это правило к функции ( f(x) ): [ f'(x) = 0 - \left(-\frac{1}{2}\right) x^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{2} x^{-\frac{3}{2}} ]

Теперь производная функции ( f(x) ) при ( x = \frac{1}{4} ) находится подстановкой: [ f'\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{3}{2}} ]

Вычислим степень: [ \left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{3}{2}} = (4^{\frac{1}{4}})^{\frac{3}{2}} = 4^{\frac{3}{4}} = 2^{\frac{3}{2}} ] [ 2^{\frac{3}{2}} = 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{2} ]

Таким образом, подставляем в формулу производной: [ f'\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} = \sqrt{2} ]

Итак, значение производной функции ( f(x) = 2 - \frac{1}{\sqrt{x}} ) в точке ( x_0 = \frac{1}{4} ) равно ( \sqrt{2} ).

Для нахождения значения производной функции f(x) в точке x0=1/4 нужно сначала найти саму производную функции.

Итак, дана функция f(x) = 2 - 1/√x. Для того чтобы найти производную данной функции, нужно воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции.

f'(x) = 0 + 1/2 * x^(-1/2) = 1/(2√x)

Теперь, чтобы найти значение производной функции в точке x0=1/4, подставим x0=1/4 в выражение для производной:

f'(1/4) = 1/(2√(1/4)) = 1/(2*1/2) = 1

Таким образом, значение производной функции f(x)=2-1/√x в точке x0=1/4 равно 1.