Найти промежутки возрастания и убывания функции f(x)=2x³-9x²+12x-15

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции ( f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 15 ), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции: Производная функции ( f(x) ), обозначаемая как ( f'(x) ), показывает скорость изменения функции и позволяет определить, где функция возрастает или убывает. [ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 9x^2 + 12x - 15) ] Применим правила дифференцирования: [ f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 ]

2. Найти критические точки: Критические точки находятся, когда производная равна нулю или не существует. В данном случае, производная является многочленом и существует везде, поэтому решим уравнение ( f'(x) = 0 ): [ 6x^2 - 18x + 12 = 0 ] Разделим уравнение на 6 для упрощения: [ x^2 - 3x + 2 = 0 ] Решим квадратное уравнение: [ (x - 1)(x - 2) = 0 ] Следовательно, ( x = 1 ) и ( x = 2 ) — это критические точки.

3. Определить знаки производной на промежутках: Разделим числовую ось на интервалы, используя критические точки: ( (-\infty, 1) ), ( (1, 2) ) и ( (2, \infty) ). Проверим знак производной в каждом из этих интервалов:

   • Для интервала ( (-\infty, 1) ): Выберем тестовую точку ( x = 0 ): [ f'(0) = 6(0)^2 - 18(0) + 12 = 12 ] Положительно, значит, ( f(x) ) возрастает на ( (-\infty, 1) ).

   • Для интервала ( (1, 2) ): Выберем тестовую точку ( x = 1.5 ): [ f'(1.5) = 6(1.5)^2 - 18(1.5) + 12 = 6(2.25) - 27 + 12 = 13.5 - 27 + 12 = -1.5 ] Отрицательно, значит, ( f(x) ) убывает на ( (1, 2) ).

   • Для интервала ( (2, \infty) ): Выберем тестовую точку ( x = 3 ): [ f'(3) = 6(3)^2 - 18(3) + 12 = 6(9) - 54 + 12 = 54 - 54 + 12 = 12 ] Положительно, значит, ( f(x) ) возрастает на ( (2, \infty) ).

4. Записать результаты:

   • Функция ( f(x) ) возрастает на промежутках ( (-\infty, 1) ) и ( (2, \infty) ).
   • Функция ( f(x) ) убывает на промежутке ( (1, 2) ).

Таким образом, промежутки возрастания и убывания функции ( f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 15 ) определены как:

• Возрастание: ( (-\infty, 1) \cup (2, \infty) )
• Убывание: ( (1, 2) )

Для того чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции f(x) = 2x³ - 9x² + 12x - 15, нужно найти ее производную и проанализировать знаки производной на интервалах.

f'(x) = 6x² - 18x + 12

Теперь найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю:

6x² - 18x + 12 = 0

Делим обе части уравнения на 6:

x² - 3x + 2 = 0

Факторизуем этот квадратный трехчлен:

(x - 1)(x - 2) = 0

Таким образом, x = 1 и x = 2 - точки экстремума функции.

Теперь анализируем знаки производной на интервалах:

1. Для x < 1: f'(x) = (x - 1)(x - 2) < 0, следовательно, функция убывает на этом интервале.
2. Для 1 < x < 2: f'(x) = (x - 1)(x - 2) > 0, следовательно, функция возрастает на этом интервале.
3. Для x > 2: f'(x) = (x - 1)(x - 2) < 0, следовательно, функция убывает на этом интервале.

Таким образом, промежутки возрастания функции f(x) = 2x³ - 9x² + 12x - 15: (1, 2), а промежутки убывания: (-∞, 1) и (2, +∞).