Найти производную функции F(x)=log3 (sinx)

Чтобы найти производную функции ( F(x) = \log_3 (\sin x) ), воспользуемся правилом дифференцирования логарифмических функций и цепным правилом.

1. Перепишем логарифм в другой форме:

   Логарифм по основанию 3 можно переписать через натуральный логарифм: [ \log_3 (\sin x) = \frac{\ln (\sin x)}{\ln 3} ]

2. Применим правило дифференцирования для натурального логарифма:

   Пусть ( u = \sin x ). Тогда ( F(x) = \frac{\ln u}{\ln 3} ).

   Производная функции ( \frac{\ln u}{\ln 3} ) с учетом, что (\ln 3) — это константа, будет: [ \frac{d}{dx} \left( \frac{\ln (\sin x)}{\ln 3} \right) = \frac{1}{\ln 3} \cdot \frac{d}{dx} \ln (\sin x) ]

3. Применим цепное правило для производной натурального логарифма:

   Производная (\ln (\sin x)) равна: [ \frac{d}{dx} \ln (\sin x) = \frac{1}{\sin x} \cdot \frac{d}{dx} (\sin x) ]

4. Находим производную (\sin x):

   [ \frac{d}{dx} (\sin x) = \cos x ]

5. Объединяем полученные результаты:

   [ \frac{d}{dx} \ln (\sin x) = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x ]

6. Окончательно находим производную ( F(x) ):

   [ F'(x) = \frac{1}{\ln 3} \cdot \cot x ]

Таким образом, производная функции ( F(x) = \log_3 (\sin x) ) равна:

[ F'(x) = \frac{\cot x}{\ln 3} ]

Для нахождения производной функции F(x)=log3(sin(x)) воспользуемся цепным правилом дифференцирования.

Сначала найдем производную внутренней функции sin(x): (sin(x))' = cos(x)

Затем найдем производную внешней функции log3(u), где u = sin(x): (log3(u))' = 1/(u ln(3)) u' = 1/(sin(x) ln(3)) cos(x)

Подставляя найденные значения, получаем: F'(x) = 1/(sin(x) ln(3)) cos(x)

Таким образом, производная функции F(x)=log3(sin(x)) равна 1/(sin(x) ln(3)) cos(x).