Найти площадь криволинейной трапеции y = 2x² y = 0; x = -1; x = 1

Для нахождения площади криволинейной трапеции необходимо вычислить определенный интеграл функции, ограниченной графиками y = 2x², y = 0, x = -1 и x = 1.

Первым шагом является нахождение точек пересечения графиков. Подставим y = 0 в уравнение y = 2x²: 0 = 2x² x² = 0 x = 0

Теперь можем построить график и определить, что криволинейная трапеция ограничена графиками функции y = 2x², осью x, и прямыми x = -1 и x = 1.

Для вычисления площади трапеции используем следующий интеграл: ∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx, где f(x) - верхняя функция, g(x) - нижняя функция, a и b - границы интегрирования.

Таким образом, площадь криволинейной трапеции будет равна: ∫[-1,1] (2x² - 0) dx = ∫[-1,1] 2x² dx Вычислим данный интеграл: ∫ 2x² dx = (2/3)x³ | от -1 до 1 (2/3)(1)³ - (2/3)(-1)³ = 2/3 - (-2/3) = 4/3

Таким образом, площадь криволинейной трапеции равна 4/3.

Для нахождения площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху функцией ( y = 2x^2 ), снизу осью ( y = 0 ), слева прямой ( x = -1 ) и справа прямой ( x = 1 ), необходимо вычислить определённый интеграл функции ( y = 2x^2 ) на интервале от ( x = -1 ) до ( x = 1 ).

Интеграл функции ( y = 2x^2 ) по ( x ) на указанном интервале вычисляется следующим образом:

[ \int_{-1}^1 2x^2 \, dx. ]

1. Найдём первообразную функции ( 2x^2 ). Интегрирование дает:

[ \int 2x^2 \, dx = \frac{2}{3}x^3 + C, ]

где ( C ) — константа интегрирования, которая в данном случае не играет роли, так как мы вычисляем определённый интеграл.

1. Подставим пределы интегрирования:

[ \left[ \frac{2}{3}x^3 \right]_{-1}^1 = \frac{2}{3}(1)^3 - \frac{2}{3}(-1)^3 = \frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}. ]

Таким образом, площадь криволинейной трапеции, ограниченной данными линиями, равна ( \frac{4}{3} ) квадратных единиц.