Найти площадь фигуры,ограниченной линиями y=x^2+2 y=x+2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций ( y = x^2 + 2 ) и ( y = x + 2 ), сначала нужно определить точки их пересечения. Для этого приравняем обе функции:

[ x^2 + 2 = x + 2 ]

Упростим уравнение:

[ x^2 - x = 0 ]

Факторизуем:

[ x(x - 1) = 0 ]

Отсюда получаем два корня:

[ x = 0 \quad \text{и} \quad x = 1 ]

Теперь найдем соответствующие значения ( y ) в этих точках:

1. Для ( x = 0 ): [ y = 0 + 2 = 2 ]

2. Для ( x = 1 ): [ y = 1 + 2 = 3 ]

Таким образом, точки пересечения кривых — это ( (0, 2) ) и ( (1, 3) ).

Теперь мы можем выразить площадь фигуры, ограниченной этими кривыми, интегрированием разности верхней функции и нижней функции по найденному интервалу. Поскольку ( y = x + 2 ) выше ( y = x^2 + 2 ) на данном интервале, площадь ( S ) можно выразить следующим образом:

[ S = \int_{0}^{1} ((x + 2) - (x^2 + 2)) \, dx ]

Упрощаем интеграл:

[ S = \int{0}^{1} (x + 2 - x^2 - 2) \, dx = \int{0}^{1} (x - x^2) \, dx ]

Теперь вычислим этот интеграл:

[ S = \int{0}^{1} (x - x^2) \, dx = \int{0}^{1} x \, dx - \int_{0}^{1} x^2 \, dx ]

Вычислим каждый из интегралов по отдельности:

1. (\int{0}^{1} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]{0}^{1} = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2})

2. (\int{0}^{1} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]{0}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3})

Теперь подставим результаты обратно в выражение для площади:

[ S = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} ]

Для вычисления этой разности найдем общий знаменатель:

[ S = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6} ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми ( y = x^2 + 2 ) и ( y = x + 2 ), равна:

[ S = \frac{1}{6} ]

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями ( y = x^2 + 2 ) и ( y = x + 2 ), нужно выполнить несколько шагов:

1. Найти точки пересечения кривых.

Чтобы определить границы области интегрирования, нужно найти точки пересечения двух заданных функций. Для этого приравниваем их:

[ x^2 + 2 = x + 2 ]

Упростим уравнение:

[ x^2 - x + 2 - 2 = 0 ]

[ x^2 - x = 0 ]

Вынесем общий множитель (x):

[ x(x - 1) = 0 ]

Отсюда получаем два значения для (x):

[ x = 0 \quad \text{и} \quad x = 1. ]

Таким образом, точки пересечения по (x) находятся в пределах (x = 0) и (x = 1). Для каждой из них найдем соответствующие значения (y) (подставляем (x = 0) и (x = 1) в любое из исходных уравнений, например, в (y = x + 2)):

• При (x = 0): (y = 0 + 2 = 2),
• При (x = 1): (y = 1 + 2 = 3).

Точки пересечения: ((0, 2)) и ((1, 3)).

2. Определить границы для площади.

Фигура, ограниченная двумя линиями, находится между кривыми (y = x^2 + 2) (парабола) и (y = x + 2) (прямая). Так как (x) изменяется от (0) до (1), нужно вычислить разность между значением верхней функции ((y = x + 2)) и нижней функции ((y = x^2 + 2)).

3. Записать интеграл для площади.

Разность между верхней и нижней функцией даёт высоту тонкой полосы (участка), а интеграл по всему диапазону (x) вычисляет суммарную площадь. Формула площади:

[ A = \int_{x=0}^{x=1} \Big[ (x + 2) - (x^2 + 2) \Big] \, dx. ]

Упростим подынтегральное выражение:

[ (x + 2) - (x^2 + 2) = x - x^2. ]

Теперь интеграл принимает вид:

[ A = \int_{0}^{1} (x - x^2) \, dx. ]

4. Вычислить интеграл.

Разделим интеграл на два отдельных:

[ A = \int{0}^{1} x \, dx - \int{0}^{1} x^2 \, dx. ]

1. Для первого интеграла (\int x \, dx):

[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} \quad \Rightarrow \quad \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2}. ]

1. Для второго интеграла (\int x^2 \, dx):

[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \quad \Rightarrow \quad \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}. ]

Теперь вычтем результаты:

[ A = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}. ]

Приведём к общему знаменателю:

[ A = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}. ]

5. Ответ.

Площадь фигуры, ограниченной кривыми (y = x^2 + 2) и (y = x + 2), равна:

[ \boxed{\frac{1}{6}}. ]