Найти площадь фигуры ограниченной линиями:y=4-x^2 y=0

Площадь фигуры равна 8/3.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной кривыми ( y = 4 - x^2 ) и ( y = 0 ), выполним следующие шаги:

1. Определение точек пересечения: Найдем точки пересечения кривых. Поскольку ( y = 0 ) — это уравнение оси X, мы приравниваем ( 4 - x^2 = 0 ). [ x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2 ] Значит, кривые пересекаются в точках ( x = -2 ) и ( x = 2 ).

2. Нахождение площади: Площадь между кривой ( y = 4 - x^2 ) и осью X на интервале от ( -2 ) до ( 2 ) можно найти по формуле интеграла: [ S = \int{-2}^2 (4 - x^2) \, dx ] Вычислим интеграл: [ \int (4 - x^2) \, dx = 4x - \frac{x^3}{3} + C ] Теперь подставим пределы интегрирования: [ S = \left[4x - \frac{x^3}{3}\right]{-2}^{2} ] [ S = \left(4 \times 2 - \frac{2^3}{3}\right) - \left(4 \times (-2) - \frac{(-2)^3}{3}\right) ] [ S = \left(8 - \frac{8}{3}\right) - \left(-8 + \frac{8}{3}\right) ] [ S = \left(8 - \frac{8}{3}\right) + \left(8 - \frac{8}{3}\right) ] [ S = 2 \left(8 - \frac{8}{3}\right) = 2 \left(\frac{24}{3} - \frac{8}{3}\right) = 2 \times \frac{16}{3} = \frac{32}{3} ]

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривой ( y = 4 - x^2 ) и осью X между точками ( x = -2 ) и ( x = 2 ), равна ( \frac{32}{3} ) квадратных единиц.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями y=4-x^2 и y=0, необходимо найти точки их пересечения.

Подставим у=0 в уравнение y=4-x^2: 0=4-x^2 x^2=4 x=±2

Таким образом, точки пересечения -2 и 2.

Площадь фигуры можно найти как интеграл от y=0 до y=4-x^2 по x от -2 до 2: ∫[0, 4-x^2] dx = ∫[0,4] (4-x^2) dx = [4x-x^3/3]∣[-2,2] = (8-8/3) - (-8+8/3) = 16/3

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y=4-x^2 и y=0, равна 16/3.