Найти площадь фигуры ограниченной линиями y= -x^2+4x-3 , осью Оx

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиком функции y=-x^2+4x-3 и осью Ox, необходимо вычислить определенный интеграл данной функции на отрезке, где она положительна.

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой ( y = -x^2 + 4x - 3 ) и осью Оx, нужно определить точки пересечения этой параболы с осью Оx. Это значит, нужно решить уравнение:

[ -x^2 + 4x - 3 = 0 ]

Умножим уравнение на (-1) для удобства:

[ x^2 - 4x + 3 = 0 ]

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью формулы квадратного уравнения:

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

Где ( a = 1 ), ( b = -4 ), ( c = 3 ). Подставляем значения:

[ x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} ] [ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} ] [ x = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} ] [ x = \frac{4 \pm 2}{2} ]

Таким образом, мы получаем два корня:

[ x_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3 ] [ x_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1 ]

Таким образом, парабола пересекает ось Оx в точках ( x = 1 ) и ( x = 3 ).

Теперь нужно найти площадь, заключенную между параболой и осью Оx на интервале ([1, 3]). Для этого вычислим определенный интеграл от функции ( y = -x^2 + 4x - 3 ) между этими точками:

[ \int_{1}^{3} (-x^2 + 4x - 3) \, dx ]

Вычислим интеграл:

[ \int (-x^2 + 4x - 3) \, dx = \int -x^2 \, dx + \int 4x \, dx - \int 3 \, dx ]

[ = \left[-\frac{x^3}{3}\right] + \left[2x^2\right] - \left[3x\right] ]

Теперь подставим пределы интегрирования:

[ = \left(-\frac{3^3}{3} + 2 \cdot 3^2 - 3 \cdot 3\right) - \left(-\frac{1^3}{3} + 2 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1\right) ]

[ = \left(-\frac{27}{3} + 18 - 9\right) - \left(-\frac{1}{3} + 2 - 3\right) ]

[ = \left(-9 + 18 - 9\right) - \left(-\frac{1}{3} + 2 - 3\right) ]

[ = 0 - \left(-\frac{1}{3} - 1\right) ]

[ = 0 + \left(\frac{1}{3} + 1\right) ]

[ = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} ]

[ = \frac{4}{3} ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной параболой и осью Оx, равна (\frac{4}{3}) квадратных единиц.

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной данной функцией и осью Оx, нужно найти точки пересечения функции y = -x^2 + 4x - 3 с осью Оx. Для этого решим уравнение -x^2 + 4x - 3 = 0.

Дискриминант этого квадратного уравнения равен D = 4^2 - 4(-1)(-3) = 16 - 12 = 4. Следовательно, уравнение имеет два корня: x1 = (4 + √4) / 2 = 3 и x2 = (4 - √4) / 2 = 1.

Таким образом, фигура ограничена осью Оx на отрезке от x = 1 до x = 3. Теперь найдем площадь фигуры с помощью определенного интеграла:

S = ∫[1,3] (-x^2 + 4x - 3) dx = [-x^3/3 + 2x^2 - 3x] [1,3] = [-(3)^3/3 + 2(3)^2 - 3(3)] - [-(1)^3/3 + 2(1)^2 - 3(1)] = [-9 + 18 - 9] - [-1 + 2 - 3] = 9 - (-2) = 11.

Итак, площадь фигуры, ограниченной функцией y = -x^2 + 4x - 3 и осью Оx, равна 11 квадратным единицам.