Найти cos(a;2b) если а{2;-1;3} b=2i+j-k

Чтобы найти косинус угла между двумя векторами ( \mathbf{a} ) и ( 2\mathbf{b} ), нужно воспользоваться формулой косинуса угла между векторами в пространстве. Векторы у нас заданы так:

[ \mathbf{a} = \begin{pmatrix} 2 \ -1 \ 3 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \ -1 \end{pmatrix} ]

Сначала удвоим вектор (\mathbf{b}):

[ 2\mathbf{b} = 2 \begin{pmatrix} 2 \ 1 \ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \ 2 \ -2 \end{pmatrix} ]

Теперь у нас есть два вектора:

[ \mathbf{a} = \begin{pmatrix} 2 \ -1 \ 3 \end{pmatrix}, \quad 2\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 4 \ 2 \ -2 \end{pmatrix} ]

Чтобы найти косинус угла между ними, используем формулу:

[ \cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot (2\mathbf{b})}{|\mathbf{a}| |2\mathbf{b}|} ]

Где (\mathbf{a} \cdot (2\mathbf{b})) — это скалярное произведение векторов, а (|\mathbf{a}|) и (|2\mathbf{b}|) — их длины.

1. Найдём скалярное произведение (\mathbf{a} \cdot (2\mathbf{b})):

[ \mathbf{a} \cdot (2\mathbf{b}) = 2 \cdot 4 + (-1) \cdot 2 + 3 \cdot (-2) = 8 - 2 - 6 = 0 ]

1. Найдём длину вектора (\mathbf{a}):

[ |\mathbf{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14} ]

1. Найдём длину вектора (2\mathbf{b}):

[ |2\mathbf{b}| = \sqrt{4^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} ]

Теперь можем подставить все значения в формулу:

[ \cos \theta = \frac{0}{|\mathbf{a}| |2\mathbf{b}|} = \frac{0}{\sqrt{14} \cdot 2\sqrt{6}} = 0 ]

Таким образом, косинус угла между векторами (\mathbf{a}) и (2\mathbf{b}) равен 0. Это означает, что векторы (\mathbf{a}) и (2\mathbf{b}) ортогональны, то есть перпендикулярны друг другу.

Для нахождения cos(a;2b) необходимо сначала найти векторное произведение векторов a и 2b, затем найти их скалярное произведение и разделить его на произведение длин векторов a и 2b.

1. Найдем векторное произведение векторов a и 2b: a = (2, -1, 3) 2b = 2i + j - k = (2, 1, -1)

Тогда a x 2b = (2(-1) - 31, 32 - 22, 21 - (-1)2) = (-5, 6, 4)

1. Найдем скалярное произведение векторов a и 2b: a 2b = 2(-5) + (-1)6 + 34 = -10 - 6 + 12 = -4

2. Найдем длины векторов a и 2b: |a| = sqrt(2^2 + (-1)^2 + 3^2) = sqrt(4 + 1 + 9) = sqrt(14) |2b| = sqrt(2^2 + 1^2 + (-1)^2) = sqrt(4 + 1 + 1) = sqrt(6)

3. Найдем cos(a;2b) по формуле: cos(a;2b) = (a 2b) / (|a| |2b|) = (-4) / (sqrt(14) sqrt(6)) = -4 / sqrt(84) = -4 / (2sqrt(21)) = -2 / sqrt(21)

Итак, cos(a;2b) = -2 / sqrt(21).