Найдити наименьшее и наибольшее значеньия функции f(x)=3x5-5x3на отрезке[0; 2]

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции ( f(x) = 3x^5 - 5x^3 ) на отрезке ([0, 2]), необходимо следовать стандартной процедуре поиска экстремумов функции на заданном интервале. Вот пошаговое решение:

1. Найдем производную функции: [ f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^5 - 5x^3) = 15x^4 - 15x^2 = 15x^2(x^2 - 1). ]

2. Найдем критические точки: Критические точки находятся, когда ( f'(x) = 0 ) или когда производная не существует. В нашем случае производная существует везде, поэтому решаем уравнение: [ 15x^2(x^2 - 1) = 0. ] Это уравнение имеет решения: [ x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0, ] [ x^2 - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1. ]

   Из критических точек ( x = 0 ), ( x = 1 ), и ( x = -1 ) нас интересуют только те, которые лежат в отрезке ([0, 2]). Таким образом, рассматриваем ( x = 0 ) и ( x = 1 ).

3. Проверяем значения функции в критических точках и на концах отрезка:

   • ( f(0) = 3(0)^5 - 5(0)^3 = 0 ).
   • ( f(1) = 3(1)^5 - 5(1)^3 = 3 - 5 = -2 ).
   • ( f(2) = 3(2)^5 - 5(2)^3 = 3 \times 32 - 5 \times 8 = 96 - 40 = 56 ).

4. Находим наименьшее и наибольшее значения:

   • Наименьшее значение функции на отрезке ([0, 2]) — это (-2) при ( x = 1 ).
   • Наибольшее значение функции на отрезке ([0, 2]) — это (56) при ( x = 2 ).

Таким образом, наименьшее значение функции ( f(x) ) на отрезке ([0, 2]) равно (-2), а наибольшее равно (56).

Для того чтобы найти наименьшее и наибольшее значение функции f(x) = 3x^5 - 5x^3 на отрезке [0; 2], сначала найдем производную этой функции. Производная функции f(x) равна f'(x) = 15x^4 - 15x^2.

Далее, найдем критические точки функции, приравняв производную к нулю: 15x^4 - 15x^2 = 0. Это уравнение можно разложить на множители и выделить корни: 15x^2(x^2 - 1) = 0. Отсюда получаем две критические точки x = 0 и x = 1.

Теперь найдем значения функции в критических точках и на концах отрезка: f(0) = 0, f(1) = -2, f(2) = 76.

Сравним эти значения и выберем наименьшее и наибольшее из них. Таким образом, наименьшее значение функции f(x) на отрезке [0; 2] равно -2, а наибольшее значение равно 76.

Наименьшее значение функции f(x) на отрезке [0; 2] равно -1, а наибольшее значение равно 23.