Найдите значение выражения sin^3 α+ cos^3 α , если sin⁡α+ cos α=0,4.

Для начала выразим sin^3 α и cos^3 α через sin α и cos α: sin^3 α = sin α (1 - cos^2 α) = sin α - sin α cos^2 α cos^3 α = cos α (1 - sin^2 α) = cos α - cos α sin^2 α

Теперь подставим sin α + cos α = 0,4 в каждое из уравнений: sin α = 0,4 - cos α cos α = 0,4 - sin α

Подставим sin α и cos α в выражение sin^3 α + cos^3 α: (sin α - sin α cos^2 α) + (cos α - cos α sin^2 α) (0,4 - cos α - (0,4 - cos α) cos α) + (0,4 - sin α - (0,4 - sin α) sin α) 0,4 - cos α - 0,4 cos α + cos^2 α + 0,4 - sin α - 0,4 sin α + sin^2 α 0,4 - cos α - 0,4 cos α + 0,4 - sin α - 0,4 sin α 0,8 - 1,4 (cos α + sin α) 0,8 - 1,4 0,4 0,8 - 0,56 0,24

Таким образом, значение выражения sin^3 α + cos^3 α при sin α + cos α = 0,4 равно 0,24.

Чтобы найти значение выражения (\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha), зная, что (\sin \alpha + \cos \alpha = 0.4), используем несколько алгебраических преобразований.

Сначала применим формулу суммы кубов:

[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) ]

В нашем случае (a = \sin \alpha) и (b = \cos \alpha), поэтому:

[ \sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha = (\sin \alpha + \cos \alpha)((\sin \alpha)^2 - \sin \alpha \cos \alpha + (\cos \alpha)^2) ]

Из условия задачи (\sin \alpha + \cos \alpha = 0.4). Подставим это значение:

[ \sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha = 0.4((\sin \alpha)^2 - \sin \alpha \cos \alpha + (\cos \alpha)^2) ]

Теперь найдём ((\sin \alpha)^2 + (\cos \alpha)^2). Из тригонометрического тождества знаем, что:

[ (\sin \alpha)^2 + (\cos \alpha)^2 = 1 ]

Теперь найдём (\sin \alpha \cos \alpha). Сначала возведём в квадрат данное условие:

[ (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = 0.4^2 ]

[ (\sin \alpha)^2 + 2\sin \alpha \cos \alpha + (\cos \alpha)^2 = 0.16 ]

Подставим значение ((\sin \alpha)^2 + (\cos \alpha)^2 = 1):

[ 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha = 0.16 ]

Отсюда:

[ 2\sin \alpha \cos \alpha = 0.16 - 1 = -0.84 ]

[ \sin \alpha \cos \alpha = -0.42 ]

Теперь подставим найденные значения обратно в выражение для (\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha):

[ \sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha = 0.4(1 - (-0.42)) ]

[ \sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha = 0.4(1 + 0.42) ]

[ \sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha = 0.4 \times 1.42 = 0.568 ]

Таким образом, значение выражения (\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha) равно (0.568).