Найдите значение выражения 4sin30°*cos^2 45°+2tg^2 135°-tg27°*cos27°/sin27°

Давайте поэтапно решим выражение:

[ 4\sin 30^\circ \cdot \cos^2 45^\circ + 2\tan^2 135^\circ - \tan 27^\circ \cdot \frac{\cos 27^\circ}{\sin 27^\circ} ]

1. Вычислим ( \sin 30^\circ ) и ( \cos 45^\circ ):

   [ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} ] [ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} ]

   Теперь найдем ( \cos^2 45^\circ ):

   [ \cos^2 45^\circ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} ]

2. Теперь вычислим первый член:

   [ 4\sin 30^\circ \cdot \cos^2 45^\circ = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1 ]

3. Вычислим ( \tan 135^\circ ):

   [ \tan 135^\circ = -1 \quad (\text{так как } 135^\circ = 180^\circ - 45^\circ) ]

   Теперь найдем ( \tan^2 135^\circ ):

   [ \tan^2 135^\circ = (-1)^2 = 1 ]

4. Теперь вычислим второй член:

   [ 2\tan^2 135^\circ = 2 \cdot 1 = 2 ]

5. Теперь вычислим третий член:

   В третьем члене у нас есть ( \tan 27^\circ \cdot \frac{\cos 27^\circ}{\sin 27^\circ} ). Но мы знаем, что ( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} ), поэтому:

   [ \frac{\cos 27^\circ}{\sin 27^\circ} = \cot 27^\circ ]

   Таким образом, третий член будет:

   [ \tan 27^\circ \cdot \cot 27^\circ = \tan 27^\circ \cdot \frac{1}{\tan 27^\circ} = 1 ]

6. Теперь подставим все найденные значения в исходное выражение:

   [ 1 + 2 - 1 = 2 ]

Итак, значение выражения:

[ \boxed{2} ]

Давайте последовательно разберем заданное выражение:

Заданное выражение:

[ 4 \sin 30^\circ \cdot \cos^2 45^\circ + 2 \tan^2 135^\circ - \frac{\tan 27^\circ \cdot \cos 27^\circ}{\sin 27^\circ} ]

Шаг 1: Разберем каждую часть отдельно.

1. ( \sin 30^\circ ):

Значение ( \sin 30^\circ ) известно из таблицы тригонометрических функций: [ \sin 30^\circ = \frac{1}{2}. ]

2. ( \cos^2 45^\circ ):

Значение ( \cos 45^\circ ) также известно: [ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}. ] Теперь найдём ( \cos^2 45^\circ ): [ \cos^2 45^\circ = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}. ]

3. ( \tan^2 135^\circ ):

Значение ( \tan 135^\circ ) можно найти, используя знание тригонометрии: [ \tan 135^\circ = \tan (180^\circ - 45^\circ) = -\tan 45^\circ. ] А ( \tan 45^\circ = 1 ), следовательно: [ \tan 135^\circ = -1. ] Теперь найдём ( \tan^2 135^\circ ): [ \tan^2 135^\circ = (-1)^2 = 1. ]

4. ( \frac{\tan 27^\circ \cdot \cos 27^\circ}{\sin 27^\circ} ):

Используем определение ( \tan x ): [ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}. ] Тогда: [ \tan 27^\circ \cdot \cos 27^\circ = \sin 27^\circ. ] Подставим это в дробь: [ \frac{\tan 27^\circ \cdot \cos 27^\circ}{\sin 27^\circ} = \frac{\sin 27^\circ}{\sin 27^\circ} = 1. ]

Шаг 2: Подставим все найденные значения в выражение.

Теперь вернёмся к исходному выражению: [ 4 \sin 30^\circ \cdot \cos^2 45^\circ + 2 \tan^2 135^\circ - \frac{\tan 27^\circ \cdot \cos 27^\circ}{\sin 27^\circ}. ] Подставим значения: [ = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot 1 - 1. ]

Выполним вычисления поэтапно:

1. ( 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1 ),
2. ( 2 \cdot 1 = 2 ),
3. ( -1 = -1 ).

Сложим всё вместе: [ 1 + 2 - 1 = 2. ]

Ответ:

[ \boxed{2}. ]