Найдите значение выражения (2sin(α-7π)+cos(3π/2+α))/sin(α+π)

Значение выражения равно -2.

Для того чтобы найти значение выражения ((2\sin(\alpha-7\pi)+\cos(\frac{3\pi}{2}+\alpha))/\sin(\alpha+\pi)), нам нужно упростить каждый тригонометрический элемент.

1. Упростим (\sin(\alpha-7\pi)): (\sin(\alpha - 7\pi)) можно упростить, воспользовавшись периодичностью синуса ((\sin(\alpha + 2k\pi) = \sin \alpha) для любого целого (k)): [ \sin(\alpha-7\pi) = \sin(\alpha - 2\cdot3\pi + \pi) = \sin(\alpha + \pi). ] Но (\sin(\alpha + \pi) = -\sin(\alpha)) (так как прибавление (\pi) к аргументу синуса меняет знак функции).

   Тогда: [ \sin(\alpha-7\pi) = -\sin(\alpha). ]

2. Упростим (\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)): Используя свойства косинуса, (\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \cos(\frac{3\pi}{2})\cos(\alpha) - \sin(\frac{3\pi}{2})\sin(\alpha)). Значение (\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0) и (\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1), следовательно: [ \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = 0 \cdot \cos(\alpha) - (-1) \cdot \sin(\alpha) = \sin(\alpha). ]

3. Упростим (\sin(\alpha+\pi)): Как уже упоминалось, (\sin(\alpha + \pi) = -\sin(\alpha)).

Теперь подставим упрощённые выражения в исходное: [ \frac{2\sin(\alpha-7\pi) + \cos(\frac{3\pi}{2}+\alpha)}{\sin(\alpha+\pi)} = \frac{2(-\sin(\alpha)) + \sin(\alpha)}{-\sin(\alpha)} = \frac{-2\sin(\alpha) + \sin(\alpha)}{-\sin(\alpha)} = \frac{-\sin(\alpha)}{-\sin(\alpha)} = 1. ]

Таким образом, значение выражения равно 1, при условии что (\sin(\alpha) \neq 0) (то есть (\alpha \neq k\pi), где (k) — целое число).

Для нахождения значения данного выражения, начнем с упрощения каждого из синусов и косинусов внутри скобок.

1. sin(α - 7π) = sin(α)cos(7π) - cos(α)sin(7π) = sin(α) 1 - cos(α) 0 = sin(α)

2. cos(3π/2 + α) = cos(3π/2)cos(α) - sin(3π/2)sin(α) = 0 cos(α) - (-1) sin(α) = sin(α)

Теперь подставим полученные значения обратно в выражение:

(2sin(α) + sin(α)) / sin(α + π) = 3sin(α) / sin(α + π)

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством: sin(α + π) = sin(α)cos(π) + cos(α)sin(π) = -sin(α)

Таким образом, исходное выражение равно:

3sin(α) / (-sin(α)) = -3

Итак, значение выражения (2sin(α-7π) + cos(3π/2 + α)) / sin(α + π) равно -3.