Найдите значение выражения: 1/1+3√5+1/1-3√5= (там где знак / это дробь)

Для нахождения значения данного выражения, сначала упростим его.

1/1 + 3√5 + 1/1 - 3√5 = (1 + 3√5)/(1) + (1 - 3√5)/(1) = (1 + 3√5 + 1 - 3√5)/1 = 2/1 = 2

Итак, значение данного выражения равно 2.

Чтобы найти значение выражения

[ \frac{1}{1 + 3\sqrt{5}} + \frac{1}{1 - 3\sqrt{5}}, ]

мы можем использовать метод рационализации знаменателя. Этот метод заключается в умножении числителя и знаменателя дроби на сопряженное выражение знаменателя, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе.

Для первой дроби (\frac{1}{1 + 3\sqrt{5}}), сопряженное выражение знаменателя будет (1 - 3\sqrt{5}). Для второй дроби (\frac{1}{1 - 3\sqrt{5}}), сопряженное выражение знаменателя будет (1 + 3\sqrt{5}).

Давайте рационализируем каждую дробь отдельно.

1. Для (\frac{1}{1 + 3\sqrt{5}}):

   [ \frac{1}{1 + 3\sqrt{5}} \times \frac{1 - 3\sqrt{5}}{1 - 3\sqrt{5}} = \frac{1 - 3\sqrt{5}}{(1 + 3\sqrt{5})(1 - 3\sqrt{5})}. ]

   В знаменателе у нас разность квадратов:

   [ (1 + 3\sqrt{5})(1 - 3\sqrt{5}) = 1^2 - (3\sqrt{5})^2 = 1 - 45 = -44. ]

   Таким образом, первая дробь становится:

   [ \frac{1 - 3\sqrt{5}}{-44}. ]

2. Для (\frac{1}{1 - 3\sqrt{5}}):

   [ \frac{1}{1 - 3\sqrt{5}} \times \frac{1 + 3\sqrt{5}}{1 + 3\sqrt{5}} = \frac{1 + 3\sqrt{5}}{(1 - 3\sqrt{5})(1 + 3\sqrt{5})}. ]

   Мы уже нашли, что знаменатель равен (-44), так что вторая дробь становится:

   [ \frac{1 + 3\sqrt{5}}{-44}. ]

Теперь сложим обе дроби:

[ \frac{1 - 3\sqrt{5}}{-44} + \frac{1 + 3\sqrt{5}}{-44} = \frac{(1 - 3\sqrt{5}) + (1 + 3\sqrt{5})}{-44}. ]

Сложим числители:

[ (1 - 3\sqrt{5}) + (1 + 3\sqrt{5}) = 1 - 3\sqrt{5} + 1 + 3\sqrt{5} = 2. ]

Подставим обратно в дробь:

[ \frac{2}{-44} = -\frac{1}{22}. ]

Таким образом, значение выражения равно (-\frac{1}{22}).