Найдите угол между диагоналями параллелограмма, если заданы три его вершины A(2;1; 3) , B(5; 2;−1) ,...

Для нахождения угла между диагоналями параллелограмма, заданного вершинами, можно использовать векторы и скалярное произведение. Рассмотрим параллелограмм (ABCD) с вершинами (A(2, 1, 3)), (B(5, 2, -1)), и (C(-3, 3, -3)). Для нахождения четвертой вершины (D) используем свойство параллелограмма: вектора (AB) и (CD) равны, а также (AD) и (BC) равны.

1. Найдем координаты точки (D). Вектор (AB = B - A = (5 - 2, 2 - 1, -1 - 3) = (3, 1, -4)). Вектор (BC = C - B = (-3 - 5, 3 - 2, -3 - (-1)) = (-8, 1, -2)).

   Так как векторы (AB) и (CD) равны, найдем координаты точки (D): (D = C + AB = (-3, 3, -3) + (3, 1, -4) = (0, 4, -7)).

2. Определим диагонали параллелограмма. Диагонали (AC) и (BD): (AC = C - A = (-3 - 2, 3 - 1, -3 - 3) = (-5, 2, -6)), (BD = D - B = (0 - 5, 4 - 2, -7 - (-1)) = (-5, 2, -6)).

   Видим, что (AC) и (BD) совпадают, значит, диагонали параллелограмма равны.

3. Найдем угол между диагоналями. Для этого используем формулу для косинуса угла между векторами: (\cos \theta = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}| |\mathbf{v}|}), где (\mathbf{u}) и (\mathbf{v}) — диагонали (AC) и (BD).

   Найдем скалярное произведение: (\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = (-5) \cdot (-5) + 2 \cdot 2 + (-6) \cdot (-6) = 25 + 4 + 36 = 65).

   Найдем длины векторов: ( |\mathbf{u}| = |\mathbf{v}| = \sqrt{(-5)^2 + 2^2 + (-6)^2} = \sqrt{25 + 4 + 36} = \sqrt{65} ).

   Подставим в формулу: (\cos \theta = \frac{65}{\sqrt{65} \cdot \sqrt{65}} = \frac{65}{65} = 1).

4. Поскольку (\cos \theta = 1), то (\theta = 0^\circ).

Таким образом, угол между диагоналями параллелограмма равен (0^\circ). Поскольку диагонали совпадают, это означает, что параллелограмм вырождается в линию.

Для нахождения угла между диагоналями параллелограмма можно воспользоваться формулой для косинуса угла между векторами:

cos(θ) = (AB AC) / (|AB| |AC|),

где AB и AC - векторы, заданные координатами точек A, B и A, C соответственно. θ - искомый угол.

Сначала найдем векторы AB и AC:

AB = B - A = (5-2; 2-1; -1-3) = (3; 1; -4), AC = C - A = (-3-2; 3-1; -3-3) = (-5; 2; -6).

Теперь найдем скалярное произведение векторов AB и AC:

AB AC = 3(-5) + 12 + (-4)(-6) = -15 + 2 + 24 = 11.

Также найдем длины векторов AB и AC:

|AB| = √(3^2 + 1^2 + (-4)^2) = √(9 + 1 + 16) = √26, |AC| = √((-5)^2 + 2^2 + (-6)^2) = √(25 + 4 + 36) = √65.

Подставляем значения в формулу для косинуса угла:

cos(θ) = 11 / (√26 * √65) ≈ 0.3086.

И, наконец, угол между диагоналями параллелограмма:

θ ≈ arccos(0.3086) ≈ 71.97 градусов.

Для нахождения угла между диагоналями параллелограмма можно воспользоваться свойством, что диагонали параллелограмма делятся пополам.

1. Найдем векторы диагоналей параллелограмма: Диагональ AC: AC = C - A = (-3; 3; -3) - (2; 1; 3) = (-5; 2; -6) Диагональ BD: BD = D - B = D - B = D - B = (-5; 2; -6) - (5; 2; -1) = (-10; 0; -5)

2. Найдем скалярное произведение векторов AC и BD: AC BD = (-5)( -10) + 2 0 + (-6) (-5) = 50 + 30 = 80

3. Найдем длины векторов AC и BD: |AC| = √((-5)^2 + 2^2 + (-6)^2) = √(25 + 4 + 36) = √65 |BD| = √((-10)^2 + 0^2 + (-5)^2) = √(100 + 0 + 25) = √125 = 5√5

4. Найдем угол между диагоналями по формуле: cos(θ) = (AC BD) / (|AC| |BD|) cos(θ) = 80 / (√65 5√5) = 80 / (5√(13) 5) = 80 / (25√13) = 16 / (5√13) θ = arccos(16 / (5√13))

Таким образом, угол между диагоналями параллелограмма равен arccos(16 / (5√13)) радиан.