Найдите сторону основания и высоту правильной четырёхугольной призмы, если площадь полной поверхности...

Чтобы решить задачу, давайте обозначим сторону основания правильной четырёхугольной призмы как ( a ) (длина стороны квадрата основания) и высоту призмы как ( h ).

Шаг 1: Площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности правильной призмы рассчитывается по формуле:

[ S_{\text{бок}} = Perimeter \times h ]

Для правильной четырёхугольной призмы периметр основания равен ( 4a ) (так как основание является квадратом):

[ S_{\text{бок}} = 4a \times h ]

Согласно условию задачи, площадь боковой поверхности равна 44 см²:

[ 4a \times h = 44 ]

Шаг 2: Площадь полной поверхности

Площадь полной поверхности призмы состоит из площади боковой поверхности и площади двух оснований. Площадь одного основания (квадратного) равна ( a^2 ), поэтому площадь двух оснований:

[ S_{\text{осн}} = 2a^2 ]

Таким образом, площадь полной поверхности выражается как:

[ S{\text{пол}} = S{\text{бок}} + S_{\text{осн}} = 4ah + 2a^2 ]

Согласно условию задачи, площадь полной поверхности равна 52 см²:

[ 4ah + 2a^2 = 52 ]

Шаг 3: Система уравнений

Теперь у нас есть система уравнений:

1. ( 4ah = 44 )
2. ( 4ah + 2a^2 = 52 )

Из первого уравнения выразим ( h ):

[ h = \frac{44}{4a} = \frac{11}{a} ]

Шаг 4: Подстановка

Подставим ( h ) во второе уравнение:

[ 4a \left(\frac{11}{a}\right) + 2a^2 = 52 ]

Упростим уравнение:

[ 44 + 2a^2 = 52 ]

Теперь решим его:

[ 2a^2 = 52 - 44 ] [ 2a^2 = 8 ] [ a^2 = 4 ] [ a = 2 ]

Шаг 5: Находим высоту

Теперь подставим значение ( a ) в выражение для высоты ( h ):

[ h = \frac{11}{a} = \frac{11}{2} = 5.5 ]

Ответ

Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна ( 2 ) см, а высота равна ( 5.5 ) см.

Для решения задачи давайте разберемся с основными формулами и обозначим все необходимые параметры.

Дано:

• Площадь полной поверхности призмы: ( S_{\text{полн}} = 52 \, \text{см}^2 ),
• Площадь боковой поверхности призмы: ( S_{\text{бок}} = 44 \, \text{см}^2 ).

Нужно найти:

1. Сторону основания призмы (( a )),
2. Высоту призмы (( h )).

Шаг 1: Формулы площади для правильной четырёхугольной призмы

1. Правильная четырёхугольная призма имеет квадратное основание, поэтому площадь одного основания равна ( S_{\text{осн}} = a^2 ), где ( a ) — длина стороны квадрата.
2. Площадь боковой поверхности равна сумме площадей четырёх боковых прямоугольников. Каждый боковой прямоугольник имеет площадь ( a \cdot h ), где ( h ) — высота призмы. Тогда: [ S_{\text{бок}} = 4 \cdot (a \cdot h) = 4ah. ]
3. Площадь полной поверхности включает площадь двух оснований и боковой поверхности: [ S{\text{полн}} = 2 \cdot S{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 2a^2 + 4ah. ]

Шаг 2: Используем данные из условия

Подставляем известные значения в формулы:

1. Из формулы площади полной поверхности: [ 2a^2 + 4ah = 52. ]
2. Из формулы площади боковой поверхности: [ 4ah = 44. ]

Шаг 3: Найдём ( a ) и ( h )

1. Из уравнения ( 4ah = 44 ) выражаем ( ah ): [ ah = \frac{44}{4} = 11. ]

2. Подставляем это значение в первое уравнение: [ 2a^2 + 44 = 52. ] Упростим: [ 2a^2 = 52 - 44, ] [ 2a^2 = 8. ] [ a^2 = \frac{8}{2} = 4. ] [ a = \sqrt{4} = 2 \, \text{см}. ]

3. Теперь найдём высоту ( h ), используя ( ah = 11 ): [ 2h = 11, ] [ h = \frac{11}{2} = 5.5 \, \text{см}. ]

Ответ:

• Сторона основания ( a = 2 \, \text{см} ),
• Высота ( h = 5.5 \, \text{см} ).

Пусть сторона основания призмы равна ( a ), тогда площадь основания равна ( S_{осн} = a^2 ).

Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной призмы рассчитывается по формуле: [ S{бок} = P{осн} \cdot h, ] где ( P_{осн} = 4a ) — периметр основания, а ( h ) — высота призмы.

По условию: [ S_{бок} = 44 \, \text{см}^2. ] Тогда: [ 4a \cdot h = 44 \quad \Rightarrow \quad a \cdot h = 11. \quad (1) ]

Площадь полной поверхности призмы: [ S{пол} = S{бок} + 2 \cdot S{осн} = 44 + 2a^2. ] По условию: [ S{пол} = 52 \, \text{см}^2. ] Тогда: [ 44 + 2a^2 = 52 \quad \Rightarrow \quad 2a^2 = 8 \quad \Rightarrow \quad a^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad a = 2. \quad (2) ]

Теперь подставим значение ( a ) в уравнение (1): [ 2h = 11 \quad \Rightarrow \quad h = 5.5. ]

Таким образом, сторона основания ( a = 2 \, \text{см} ) и высота ( h = 5.5 \, \text{см} ).