Найдите промежутки убывания функции f (x) =-x^3+9 x ^2 + 21 x

Для определения промежутков убывания функции ( f(x) = -x^3 + 9x^2 + 21x ), необходимо выполнить следующий порядок действий:

1. Найти производную функции

Производная функции показывает скорость изменения функции. Она поможет определить, где функция возрастает (( f'(x) > 0 )) и где убывает (( f'(x) < 0 )).

Производная функции ( f(x) = -x^3 + 9x^2 + 21x ) равна: [ f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^3 + 9x^2 + 21x) = -3x^2 + 18x + 21. ]

2. Найти критические точки

Критические точки — это значения ( x ), где производная равна нулю (( f'(x) = 0 )) или не существует. Эти точки разделяют график функции на интервалы, где она возрастает или убывает.

Решим уравнение ( f'(x) = 0 ): [ -3x^2 + 18x + 21 = 0. ]

Для удобства упростим, разделив на (-3): [ x^2 - 6x - 7 = 0. ]

Разложим квадратное уравнение на множители: [ x^2 - 6x - 7 = (x - 7)(x + 1). ]

Следовательно, ( f'(x) = 0 ) при: [ x_1 = 7, \quad x_2 = -1. ]

Критические точки: ( x = -1 ) и ( x = 7 ).

3. Определить знаки производной на промежутках

Разделим область определения функции на интервалы, используя критические точки: ( (-\infty, -1) ), ( (-1, 7) ), ( (7, +\infty) ).

Проверим знак производной ( f'(x) = -3x^2 + 18x + 21 ) в каждом из этих интервалов. Для этого подставим любые значения ( x ) из каждого интервала в ( f'(x) ).

Интервал ( (-\infty, -1) ):

Выберем ( x = -2 ). Подставим в ( f'(x) ): [ f'(-2) = -3(-2)^2 + 18(-2) + 21 = -3(4) - 36 + 21 = -12 - 36 + 21 = -27. ] ( f'(-2) < 0 ), значит, на промежутке ( (-\infty, -1) ) функция убывает.

Интервал ( (-1, 7) ):

Выберем ( x = 0 ). Подставим в ( f'(x) ): [ f'(0) = -3(0)^2 + 18(0) + 21 = 21. ] ( f'(0) > 0 ), значит, на промежутке ( (-1, 7) ) функция возрастает.

Интервал ( (7, +\infty) ):

Выберем ( x = 8 ). Подставим в ( f'(x) ): [ f'(8) = -3(8)^2 + 18(8) + 21 = -3(64) + 144 + 21 = -192 + 144 + 21 = -27. ] ( f'(8) < 0 ), значит, на промежутке ( (7, +\infty) ) функция убывает.

4. Указать промежутки убывания

Функция убывает там, где производная отрицательна (( f'(x) < 0 )):

• На интервале ( (-\infty, -1) ),
• На интервале ( (7, +\infty) ).

Итог

Промежутки убывания функции ( f(x) = -x^3 + 9x^2 + 21x ): [ x \in (-\infty, -1) \cup (7, +\infty). ]

Для того чтобы найти промежутки убывания функции ( f(x) = -x^3 + 9x^2 + 21x ), нужно сначала найти производную этой функции и определить, где она отрицательна.

1. Найдем производную функции:

[ f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^3 + 9x^2 + 21x) = -3x^2 + 18x + 21 ]

1. Найдем критические точки, решая уравнение ( f'(x) = 0 ):

[ -3x^2 + 18x + 21 = 0 ]

Упростим уравнение, разделив все его части на -3:

[ x^2 - 6x - 7 = 0 ]

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64 ]

Корни уравнения определяются по формуле:

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm 8}{2} ]

Таким образом, получаем два корня:

[ x_1 = \frac{14}{2} = 7, \quad x_2 = \frac{-2}{2} = -1 ]

1. Определим знаки производной на интервалах:

Теперь у нас есть критические точки ( x = -1 ) и ( x = 7 ). Разделим числовую ось на три интервала: ( (-\infty, -1) ), ( (-1, 7) ) и ( (7, +\infty) ).

Теперь проверим знак производной на каждом из этих интервалов.

• Для интервала ( (-\infty, -1) ) (например, ( x = -2 )):

[ f'(-2) = -3(-2)^2 + 18(-2) + 21 = -3(4) - 36 + 21 = -12 - 36 + 21 = -27 \quad (\text{отрицательно}) ]

• Для интервала ( (-1, 7) ) (например, ( x = 0 )):

[ f'(0) = -3(0)^2 + 18(0) + 21 = 21 \quad (\text{положительно}) ]

• Для интервала ( (7, +\infty) ) (например, ( x = 8 )):

[ f'(8) = -3(8)^2 + 18(8) + 21 = -3(64) + 144 + 21 = -192 + 144 + 21 = -27 \quad (\text{отрицательно}) ]

1. Запишем промежутки убывания:

Исходя из анализа знаков производной, функция убывает на интервалах, где ( f' < 0 ):

• На интервале ( (-\infty, -1) )
• На интервале ( (7, +\infty) )

Таким образом, промежутки убывания функции ( f(x) = -x^3 + 9x^2 + 21x ) — это ( (-\infty, -1) ) и ( (7, +\infty) ).

Чтобы найти промежутки убывания функции ( f(x) = -x^3 + 9x^2 + 21x ), сначала найдем производную функции:

[ f'(x) = -3x^2 + 18x + 21 ]

Теперь решим уравнение ( f'(x) = 0 ):

[ -3x^2 + 18x + 21 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 6x - 7 = 0 ]

Решаем это уравнение с помощью дискриминанта:

[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64 ]

Корни уравнения:

[ x_1 = \frac{6 + 8}{2} = 7, \quad x_2 = \frac{6 - 8}{2} = -1 ]

Теперь определим знаки производной на интервалах ( (-\infty, -1) ), ( (-1, 7) ) и ( (7, +\infty) ):

1. Для ( x < -1 ): ( f'(-2) = -3(-2)^2 + 18(-2) + 21 = -12 - 36 + 21 < 0 ) (убывает)
2. Для ( -1 < x < 7 ): ( f'(0) = -3(0)^2 + 18(0) + 21 = 21 > 0 ) (возрастает)
3. Для ( x > 7 ): ( f'(8) = -3(8)^2 + 18(8) + 21 = -192 + 144 + 21 < 0 ) (убывает)

Таким образом, функция убывает на промежутках:

[ (-\infty, -1) \quad \text{и} \quad (7, +\infty) ]