Найдите площадь фигуры,ограниченной линиями: х=-1,х=2,у =0 и у= х^2+1

Для нахождения площади фигуры, ограниченной данными линиями, необходимо сначала найти точки их пересечения. Подставим значения x=-1 и x=2 в уравнение у = х^2+1:

При x=-1: y = (-1)^2 + 1 = 2 При x=2: y = 2^2 + 1 = 5

Таким образом, фигура ограничена линиями х=-1, х=2, у=0 и у=5.

Площадь фигуры можно найти, вычислив интеграл от y= х^2+1 до y=5 по x от -1 до 2. После нахождения интеграла, получим значение площади фигуры.

Решение данного интеграла позволит найти площадь фигуры, ограниченной указанными линиями.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями ( x = -1 ), ( x = 2 ), ( y = 0 ) и ( y = x^2 + 1 ), используем интегрирование.

Во-первых, определим границы интегрирования по оси ( x ). Это ( x = -1 ) и ( x = 2 ).

Функция ( y = x^2 + 1 ) описывает параболу, смещённую вверх на 1 единицу. Линия ( y = 0 ) — это ось ( x ).

Для нахождения площади под графиком функции ( y = x^2 + 1 ) от ( x = -1 ) до ( x = 2 ), вычислим определённый интеграл функции ( x^2 + 1 ) в этих границах:

[ \int_{-1}^{2} (x^2 + 1) \, dx ]

Решим интеграл:

[ \int (x^2 + 1) \, dx = \int x^2 \, dx + \int 1 \, dx ]

Это можно вычислить, используя основные правила интегрирования:

[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C ] [ \int 1 \, dx = x + C ]

Таким образом, интеграл от ( x^2 + 1 ) будет:

[ \int (x^2 + 1) \, dx = \frac{x^3}{3} + x + C ]

Теперь подставим пределы интегрирования:

[ \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_{-1}^{2} ]

Вычислим значение при верхнем пределе ( x = 2 ):

[ \frac{2^3}{3} + 2 = \frac{8}{3} + 2 = \frac{8}{3} + \frac{6}{3} = \frac{14}{3} ]

Теперь вычислим значение при нижнем пределе ( x = -1 ):

[ \frac{(-1)^3}{3} + (-1) = \frac{-1}{3} - 1 = \frac{-1}{3} - \frac{3}{3} = \frac{-4}{3} ]

Теперь вычтем значение при нижнем пределе из значения при верхнем пределе:

[ \frac{14}{3} - \frac{-4}{3} = \frac{14}{3} + \frac{4}{3} = \frac{18}{3} = 6 ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями ( x = -1 ), ( x = 2 ), ( y = 0 ) и ( y = x^2 + 1 ), равна 6 квадратных единиц.