Найдите площадь фигуры ограниченной линиями у=√х, х=1,х=4,у=0

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями у = √x, x = 1, x = 4, у = 0, необходимо найти площадь под криволинейным графиком у = √x от x = 1 до x = 4 и вычесть из неё площадь прямоугольника, образованного отрезками x = 1, x = 4 и у = 0.

1. Найдем площадь под криволинейным графиком у = √x от x = 1 до x = 4. Для этого возьмем определенный интеграл от функции у = √x на интервале от 1 до 4: ∫[1,4] √x dx = [2/3 * x^(3/2)] [1,4] = 2/3 4^(3/2) - 2/3 1^(3/2) = 2/3 * 8 - 2/3 = 16/3 - 2/3 = 14/3.

2. Площадь прямоугольника равна его ширине умноженной на высоту: S = (4 - 1) 0 = 3 0 = 0.

Таким образом, площадь фигуры ограниченной линиями у = √x, x = 1, x = 4, у = 0 равна 14/3.

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = \sqrt{x} ), ( x = 1 ), ( x = 4 ) и ( y = 0 ), мы можем использовать метод интегрирования.

1. Определение границ интегрирования:

   • Линии ( x = 1 ) и ( x = 4 ) задают вертикальные границы области.
   • Линия ( y = 0 ) задает нижнюю горизонтальную границу.
   • Линия ( y = \sqrt{x} ) задает верхнюю границу.

2. Формулировка задачи: Мы хотим найти площадь под кривой ( y = \sqrt{x} ) от ( x = 1 ) до ( x = 4 ).

3. Запись интеграла: Площадь ( A ) равна интегралу функции ( y = \sqrt{x} ) по ( x ) на интервале [1, 4]: [ A = \int_{1}^{4} \sqrt{x} \, dx ]

4. Вычисление интеграла: Для вычисления интеграла, преобразуем подынтегральную функцию. Напомним, что ( \sqrt{x} = x^{1/2} ).

   [ \int \sqrt{x} \, dx = \int x^{1/2} \, dx ]

   Применяем правило интегрирования степенных функций: [ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C ] где ( n = \frac{1}{2} ).

   [ \int x^{1/2} \, dx = \frac{x^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} x^{3/2} ]

5. Определенный интеграл: Теперь подставляем пределы интегрирования от 1 до 4: [ A = \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{1}^{4} ]

   Вычисляем значения на границах: [ A = \frac{2}{3} \left( 4^{3/2} \right) - \frac{2}{3} \left( 1^{3/2} \right) ]

   Заметим, что ( 4^{3/2} = (4^1)^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^3 = 8 ).

   [ \frac{2}{3} \left( 4^{3/2} \right) = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3} ]

   И ( 1^{3/2} = 1 ).

   [ \frac{2}{3} \left( 1^{3/2} \right) = \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3} ]

6. Окончательный результат: [ A = \frac{16}{3} - \frac{2}{3} = \frac{14}{3} ]

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = \sqrt{x} ), ( x = 1 ), ( x = 4 ) и ( y = 0 ), равна ( \frac{14}{3} ) квадратных единиц.

Площадь равна 3.