Найдите площадь фигуры ограниченной линиями у=-6х-х^2 и у=-2х

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями, необходимо найти точки их пересечения. Для этого приравняем уравнения линий:

-6x - x^2 = -2x

x^2 - 4x = 0 x(x - 4) = 0

Таким образом, получаем две точки пересечения: x = 0 и x = 4. Теперь найдем соответствующие значения y:

y = -6 0 - 0^2 = 0 y = -6 4 - 4^2 = -24 - 16 = -40

Таким образом, точки пересечения линий - это (0, 0) и (4, -40). Далее, для нахождения площади фигуры, ограниченной этими линиями, необходимо найти интеграл от функции y1(x) = -6x - x^2 до функции y2(x) = -2x на интервале [0, 4]:

∫[0,4] (-6x - x^2 + 2x) dx = ∫[0,4] (-x^2 - 4x) dx = [-x^3/3 - 2x^2] [0,4] = -64/3 - 32

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями у = -6x - x^2 и у = -2x, равна -64/3 - 32 или примерно -53.33.

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривыми ( y = -6x - x^2 ) и ( y = -2x ), сначала нужно определить точки пересечения этих кривых. Для этого приравняем уравнения:

[ -6x - x^2 = -2x ]

Приведем уравнение к стандартному виду:

[ -x^2 - 6x + 2x = 0 ]

[ -x^2 - 4x = 0 ]

Вынесем общий множитель за скобки:

[ -x(x + 4) = 0 ]

Отсюда получаем два решения:

[ x = 0 \quad \text{и} \quad x = -4 ]

Теперь у нас есть точки пересечения кривых: ( x = 0 ) и ( x = -4 ). Подставим значения ( x ) в одно из уравнений, например, ( y = -2x ), чтобы найти соответствующие значения ( y ):

• Для ( x = 0 ): ( y = -2(0) = 0 )
• Для ( x = -4 ): ( y = -2(-4) = 8 )

Таким образом, точки пересечения имеют координаты ((0, 0)) и ((-4, 8)).

Теперь найдем площадь фигуры между этими кривыми. Для этого вычислим определённый интеграл разности функций в пределах от (-4) до (0):

[ \int{-4}^{0} \left((-2x) - (-6x - x^2)\right) \, dx = \int{-4}^{0} (6x + x^2 - 2x) \, dx = \int_{-4}^{0} (4x + x^2) \, dx ]

Вычислим этот интеграл:

[ \int (4x + x^2) \, dx = \left[ 2x^2 + \frac{x^3}{3} \right] ]

Теперь подставим пределы интегрирования:

[ = \left[ 2x^2 + \frac{x^3}{3} \right]_{-4}^{0} = \left( 2(0)^2 + \frac{(0)^3}{3} \right) - \left( 2(-4)^2 + \frac{(-4)^3}{3} \right) ]

[ = 0 - \left( 2 \times 16 + \frac{-64}{3} \right) ]

[ = 0 - (32 - \frac{64}{3}) ]

[ = 0 - \left( \frac{96}{3} - \frac{64}{3} \right) ]

[ = 0 - \frac{32}{3} ]

[ = -\frac{32}{3} ]

Поскольку площадь не может быть отрицательной, мы берём её абсолютное значение:

[ \text{Площадь} = \frac{32}{3} ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной данными кривыми, равна (\frac{32}{3}).