Найдите область определения функции y=корень 2x^2+3x-2

Для того чтобы найти область определения функции y = √(2x^2 + 3x - 2), нужно учесть, что под корнем должно быть неотрицательное значение, чтобы функция была определена. Таким образом, необходимо найти значения x, для которых выражение 2x^2 + 3x - 2 не меньше нуля.

Для этого можно воспользоваться квадратным трёхчленом и решить неравенство 2x^2 + 3x - 2 ≥ 0. Для начала найдем корни этого уравнения, которые являются точками, где функция меняет знак:

2x^2 + 3x - 2 = 0

D = b^2 - 4ac = 3^2 - 42(-2) = 9 + 16 = 25

x1,2 = (-b ± √D) / 2a = (-3 ± √25) / 4 = (-3 ± 5) / 4

x1 = 2/4 = 0.5 x2 = -8/4 = -2

Таким образом, корни уравнения 2x^2 + 3x - 2 равны 0.5 и -2. Эти точки делят x-ось на три интервала: (-∞, -2), (-2, 0.5) и (0.5, +∞). Далее нужно определить знак выражения 2x^2 + 3x - 2 на каждом из этих интервалов.

Для этого можно взять произвольное значение из каждого интервала и подставить его в выражение 2x^2 + 3x - 2. Например, для интервала (-∞, -2) можно взять x = -3:

2(-3)^2 + 3(-3) - 2 = 18 - 9 - 2 = 7

Таким образом, на интервале (-∞, -2) выражение 2x^2 + 3x - 2 положительно.

Аналогично для интервала (-2, 0.5) можно взять x = 0:

20^2 + 30 - 2 = -2

На интервале (-2, 0.5) выражение 2x^2 + 3x - 2 отрицательно.

И, наконец, для интервала (0.5, +∞) можно взять x = 1:

21^2 + 31 - 2 = 3

На интервале (0.5, +∞) выражение 2x^2 + 3x - 2 снова положительно.

Итак, областью определения функции y = √(2x^2 + 3x - 2) является множество всех действительных чисел x, для которых 2x^2 + 3x - 2 ≥ 0, то есть x принадлежит интервалам (-∞, -2] и [0.5, +∞).

Чтобы найти область определения функции ( y = \sqrt{2x^2 + 3x - 2} ), нужно определить такие значения переменной ( x ), при которых подкоренное выражение ( 2x^2 + 3x - 2 ) неотрицательно. Это связано с тем, что квадратный корень определён только для неотрицательных чисел.

Таким образом, необходимо решить неравенство:

[ 2x^2 + 3x - 2 \geq 0. ]

Для этого сначала найдём корни квадратного уравнения:

[ 2x^2 + 3x - 2 = 0. ]

Применим формулу для решения квадратного уравнения:

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, ]

где ( a = 2 ), ( b = 3 ), ( c = -2 ).

Вычислим дискриминант:

[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25. ]

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два действительных корня:

[ x_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{1}{2}, ]

[ x_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 5}{4} = -2. ]

Теперь мы знаем, что корни уравнения — ( x = -2 ) и ( x = \frac{1}{2} ).

Эти корни разделяют числовую ось на три интервала: ( (-\infty, -2) ), ( [-2, \frac{1}{2}] ), и ( (\frac{1}{2}, \infty) ). Проверим знак выражения ( 2x^2 + 3x - 2 ) на каждом из этих интервалов.

1. Интервал ( (-\infty, -2) ):

   Выберем тестовую точку ( x = -3 ):

   [ 2(-3)^2 + 3(-3) - 2 = 18 - 9 - 2 = 7 > 0. ]

   На этом интервале выражение положительно.

2. Интервал ( [-2, \frac{1}{2}] ):

   На концах интервала подкоренное выражение равно нулю, так как это корни уравнения.

   Вычислим значение в тестовой точке ( x = 0 ) (внутри интервала):

   [ 2(0)^2 + 3(0) - 2 = -2 < 0. ]

   На этом интервале выражение отрицательно.

3. Интервал ( (\frac{1}{2}, \infty) ):

   Выберем тестовую точку ( x = 1 ):

   [ 2(1)^2 + 3(1) - 2 = 2 + 3 - 2 = 3 > 0. ]

   На этом интервале выражение положительно.

Таким образом, область определения функции ( y = \sqrt{2x^2 + 3x - 2} ) состоит из интервалов, где подкоренное выражение неотрицательно:

[ x \in (-\infty, -2] \cup [\frac{1}{2}, \infty). ]

Это означает, что функция определена для всех ( x ) в этих промежутках.