Найдите наименьшее значение функции y=(x+3)^2(x+5)-1 на промежутке [-4;-1]

Для нахождения наименьшего значения функции y = (x+3)²(x+5) - 1 на промежутке [-4, -1] выполним следующие шаги:

1. Анализ функции

Функция представляет собой полином третьей степени, так как (x+3)² раскрывается в x² + 6x + 9, и при умножении на (x+5) результатом будет полином третьей степени:

y = (x² + 6x + 9)(x + 5) - 1
y = x³ + 5x² + 6x² + 30x + 9x + 45 - 1
y = x³ + 11x² + 39x + 44.

2. Нахождение производной

Для определения экстремумов функции найдем производную:

y' = 3x² + 22x + 39.

3. Решение уравнения y' = 0

Для нахождения критических точек решим уравнение:

3x² + 22x + 39 = 0.

Это квадратное уравнение, решаем его через дискриминант:

D = 22² - 4 3 39 = 484 - 468 = 16.

x₁,₂ = (-b ± √D) / (2a) = (-22 ± 4) / 6 = -3 или -4.333...

4. Проверка критических точек и границ интервала

Подставим критические точки и границы интервала в исходную функцию:

• x = -4: y = ((-4+3)²)(-4+5) - 1 = 1 * 1 - 1 = 0.
• x = -3: y = ((-3+3)²)(-3+5) - 1 = 0 * 2 - 1 = -1.
• x = -4.333...: Это значение не лежит в рассматриваемом интервале [-4, -1].
• x = -1: y = ((-1+3)²)(-1+5) - 1 = 4 * 4 - 1 = 15.

5. Выбор наименьшего значения

Из всех подставленных значений наименьшее y = -1, достигается при x = -3.

Ответ: Наименьшее значение функции y = (x+3)²(x+5) - 1 на промежутке [-4, -1] равно -1 и достигается при x = -3.

Для нахождения наименьшего значения функции y=(x+3)^2(x+5)-1 на промежутке [-4;-1] нужно сначала найти критические точки функции в этом интервале. Для этого найдем производную функции y по переменной x:

y' = 2(x+3)(x+5) + (x+3)^2

y' = 2(x^2 + 8x + 15) + (x^2 + 6x + 9)

y' = 2x^2 + 16x + 30 + x^2 + 6x + 9

y' = 3x^2 + 22x + 39

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю и решив уравнение:

3x^2 + 22x + 39 = 0

Далее найдем корни этого квадратного уравнения:

x = (-b +/- sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a

x1 = (-22 + sqrt(22^2 - 4339)) / 2*3 ≈ -4.05

x2 = (-22 - sqrt(22^2 - 4339)) / 2*3 ≈ -2.28

Так как промежуток, на котором мы ищем минимальное значение функции, [-4;-1], то нам интересует корень x1 ≈ -4.05

Далее, чтобы найти соответствующее значение функции в точке x ≈ -4.05, подставим это значение обратно в исходную функцию:

y = (-4.05 + 3)^2(-4.05 + 5) - 1

y ≈ -13.56

Таким образом, наименьшее значение функции y=(x+3)^2(x+5)-1 на промежутке [-4;-1] примерно равно -13.56.