! Найдите наименьшее значение функции y=(x+3)^2​ * (x+6)+7 на отрезке [− 4 ; 1]. !Пожалуйста

Для нахождения наименьшего значения функции y=(x+3)^2 * (x+6)+7 на отрезке [-4;1] необходимо найти критические точки функции в данном интервале и сравнить их значения.

1. Найдем критические точки, вычислив производную функции: y' = 2(x+3)(x+6) + (x+3)^2 y' = 2(x^2 + 6x + 3x + 18) + (x^2 + 6x + 9) y' = 2x^2 + 12x + 6x + 36 + x^2 + 6x + 9 y' = 3x^2 + 24x + 45

2. Найдем точки, где производная равна нулю: 3x^2 + 24x + 45 = 0 Далее решаем квадратное уравнение и находим значения x.

3. После нахождения критических точек, проверяем их на принадлежность к отрезку [-4;1] и находим значение функции в найденных точках.

4. Сравниваем значения функции в критических точках и на концах отрезка [-4;1], и находим наименьшее значение функции.

Таким образом, после выполнения вышеуказанных шагов, мы найдем наименьшее значение функции y=(x+3)^2 * (x+6)+7 на отрезке [-4;1].

Наименьшее значение функции y=(x+3)^2 * (x+6)+7 на отрезке [-4;1] равно 7.

Для того чтобы найти наименьшее значение функции ( y = (x+3)^2 \cdot (x+6) + 7 ) на отрезке ([-4; 1]), выполните следующие шаги:

1. Найдите производную функции: Производная функции ( y ) поможет нам найти критические точки, которые могут быть точками минимума или максимума на заданном отрезке.

   Пусть ( f(x) = (x+3)^2 \cdot (x+6) ).

   Тогда ( y = f(x) + 7 ).

   Производная ( f(x) ) по правилу производной произведения двух функций: [ f'(x) = \frac{d}{dx} [(x+3)^2 \cdot (x+6)] ] Применим правило Лейбница: [ f'(x) = (x+3)^2 \cdot \frac{d}{dx} (x+6) + (x+6) \cdot \frac{d}{dx} (x+3)^2 ] [ f'(x) = (x+3)^2 \cdot 1 + (x+6) \cdot 2(x+3) ] [ f'(x) = (x+3)^2 + 2(x+6)(x+3) ] [ f'(x) = (x+3)^2 + 2(x^2 + 9x + 18) ] [ f'(x) = (x+3)^2 + 2x^2 + 18x + 36 ] [ f'(x) = x^2 + 6x + 9 + 2x^2 + 18x + 36 ] [ f'(x) = 3x^2 + 24x + 45 ]

2. Найдите критические точки: Критические точки находятся из уравнения ( f'(x) = 0 ): [ 3x^2 + 24x + 45 = 0 ] Для решения этого квадратного уравнения сделаем замену: [ x^2 + 8x + 15 = 0 ] Найдём дискриминант: [ D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4 ] Решения уравнения: [ x = \frac{-8 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 \pm 2}{2} ] [ x_1 = \frac{-8 + 2}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-8 - 2}{2} = -5 ]

3. Проверка критических точек и границ отрезка: Критические точки ( x = -3 ) и ( x = -5 ). Поскольку ( x = -5 ) не принадлежит отрезку ([-4; 1]), проверяем только ( x = -3 ).

   Также проверяем значения функции на границах отрезка, то есть в точках ( x = -4 ) и ( x = 1 ).

   Вычислим значения функции ( y ) в этих точках: [ y(-4) = ((-4+3)^2 \cdot (-4+6)) + 7 = (1^2 \cdot 2) + 7 = 2 + 7 = 9 ] [ y(-3) = ((-3+3)^2 \cdot (-3+6)) + 7 = (0^2 \cdot 3) + 7 = 0 + 7 = 7 ] [ y(1) = ((1+3)^2 \cdot (1+6)) + 7 = (4^2 \cdot 7) + 7 = 16 \cdot 7 + 7 = 112 + 7 = 119 ]

4. Сравнение значений функции: На отрезке ([-4; 1]) значения функции в критических точках и на границах отрезка: [ y(-4) = 9, \quad y(-3) = 7, \quad y(1) = 119 ]

Таким образом, наименьшее значение функции ( y = (x+3)^2 \cdot (x+6) + 7 ) на отрезке ([-4; 1]) равно 7 и достигается в точке ( x = -3 ).