Найдите наименьшее значение функции y=3x-ln(x+3)³ на отрезке [−2,5; 0].

Для нахождения наименьшего значения функции ( y = 3x - \ln(x+3)^3 ) на отрезке ([-2.5, 0]), сначала найдем производную данной функции, чтобы определить критические точки, в которых функция может достигать локальных экстремумов.

Производная от ( y ) по ( x ) равна: [ y' = 3 - \frac{3}{x+3} \cdot \frac{d}{dx}(x+3) = 3 - \frac{3}{x+3} ]

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: [ 3 - \frac{3}{x+3} = 0 ] [ \frac{3}{x+3} = 3 ] [ 1 = x + 3 ] [ x = -2 ]

Так как ( -2 ) попадает в интервал ([-2.5, 0]), это может быть критическая точка. Теперь проверим значения функции в критической точке и на концах отрезка:

1. ( x = -2.5 ): [ y(-2.5) = 3(-2.5) - \ln((-2.5+3)^3) = -7.5 - \ln(0.5^3) = -7.5 - 3\ln(0.5) ] [ \ln(0.5) \approx -0.693 ] [ -7.5 + 3 \times 0.693 \approx -7.5 + 2.079 = -5.421 ]

2. ( x = -2 ): [ y(-2) = 3(-2) - \ln((-2+3)^3) = -6 - \ln(1^3) = -6 ]

3. ( x = 0 ): [ y(0) = 3(0) - \ln((0+3)^3) = - \ln(27) = -3\ln(3) ] [ \ln(3) \approx 1.098 ] [ -3 \times 1.098 = -3.294 ]

Сравнив значения функции в этих точках, находим: [ y(-2.5) \approx -5.421, \quad y(-2) = -6, \quad y(0) \approx -3.294 ]

Из них наименьшее значение функции на данном отрезке равно (-6) и достигается при (x = -2).

Для нахождения наименьшего значения функции y=3x-ln(x+3)³ на отрезке [-2,5; 0] необходимо найти критические точки функции внутри этого отрезка и сравнить их значения с концами отрезка.

1. Найдем производную функции y=3x-ln(x+3)³: y' = 3 - 3/(x+3)

2. Найдем критические точки, приравнивая производную к нулю: 3 - 3/(x+3) = 0 3 = 3/(x+3) 1 = 1/(x+3) x + 3 = 1 x = -2

3. Проверим найденную критическую точку и концы отрезка: y(-2) = 3(-2) - ln((-2)+3)³ = -6 - ln(1) = -6 y(0) = 30 - ln(0+3)³ = 0 - ln(27) ≈ -3.2958

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [-2,5; 0] равно -6.

Наименьшее значение функции y=3x-ln(x+3)³ на отрезке [-2,5; 0] равно -3.