Найдите наименьшее значение функции y=31x-31tgx+13 на отрезке [-п/4;0] Помогите с решением, а не только...

Для нахождения наименьшего значения функции y=31x-31tgx+13 на отрезке [-п/4;0] нужно использовать метод дифференциального исчисления.

1. Найдем производную функции y по x: y'(x) = 31 - 31(1 + tg^2x) = 31 - 31(1 + (sinx/cosx)^2) = 31 - 31(1 + sin^2x/cos^2x) = 31 - 31(cos^2x + sin^2x)/cos^2x = 31 - 31/cos^2x = 31*(1 - 1/cos^2x)

2. Найдем критические точки функции, приравняв производную к нулю: 31*(1 - 1/cos^2x) = 0 1 - 1/cos^2x = 0 cos^2x = 1 cosx = ±1 x = 0, x = п

3. Проверим найденные точки на краях отрезка [-п/4;0]: y(-п/4) = 31(-п/4) - 31tg(-п/4) + 13 = -31/4 + 31 + 13 = 44 - 31/4 y(0) = 310 - 31tg0 + 13 = 0 - 0 + 13 = 13

4. Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [-п/4;0] равно 13.

Чтобы найти наименьшее значение функции ( y = 31x - 31\tan(x) + 13 ) на отрезке ([- \frac{\pi}{4}, 0]), мы будем использовать методы дифференциального исчисления. Вот пошаговое решение:

1. Найдём производную функции:

   ( y = 31x - 31\tan(x) + 13 )

   Производная функции ( y ) по переменной ( x ) обозначается ( y' ):

   [ y' = \frac{d}{dx} (31x) - \frac{d}{dx} (31\tan(x)) + \frac{d}{dx} (13) ]

   [ y' = 31 - 31 \sec^2(x) + 0 ]

   [ y' = 31 (1 - \sec^2(x)) ]

   [ y' = 31 (1 - (1 + \tan^2(x))) ]

   [ y' = 31 (1 - 1 - \tan^2(x)) ]

   [ y' = -31 \tan^2(x) ]

2. Найдём критические точки:

   Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Решим уравнение ( y' = 0 ):

   [ -31 \tan^2(x) = 0 ]

   [ \tan^2(x) = 0 ]

   [ \tan(x) = 0 ]

   На отрезке ([- \frac{\pi}{4}, 0]) (\tan(x) = 0) при ( x = 0 ).

3. Найдём значения функции на концах отрезка и в критических точках:

   [ y(-\frac{\pi}{4}) = 31 \left(-\frac{\pi}{4}\right) - 31 \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) + 13 ]

   [ y(-\frac{\pi}{4}) = 31 \left(-\frac{\pi}{4}\right) - 31 \left(-1\right) + 13 ]

   [ y(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{31\pi}{4} + 31 + 13 ]

   [ y(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{31\pi}{4} + 44 ]

   Теперь найдём значение функции в другой точке:

   [ y(0) = 31(0) - 31\tan(0) + 13 ]

   [ y(0) = 0 - 0 + 13 ]

4. Сравним значения:

   [ y(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{31\pi}{4} + 44 ] [ y(0) = 13 ]

   Число (-\frac{31\pi}{4} + 44) будет меньше, чем 13, так как (\pi \approx 3.14), и тогда (\frac{31\pi}{4}) приблизительно равно 24.36. Поэтому:

   [ y(-\frac{\pi}{4}) \approx -24.36 + 44 = 19.64 ]

   Однако, конкретное численное значение нужно уточнить:

   [ -\frac{31\pi}{4} + 44 \approx 19.64 ]

Таким образом, наименьшее значение функции ( y = 31x - 31\tan(x) + 13 ) на отрезке ([- \frac{\pi}{4}, 0]) равно 13 и достигается при ( x = 0 ).

Для решения данной задачи нужно найти производную функции y по x, приравнять ее к нулю и найти точки экстремума на заданном отрезке. Затем провести исследование на возрастание и убывание функции, чтобы найти точку, в которой функция достигает минимального значения.