Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = 3x^2 - 12x + 1 на [1;4]

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x) на интервале [1;4] необходимо найти экстремумы функции. Для этого найдем производную функции f(x) и приравняем ее к нулю:

f'(x) = 6x - 12

6x - 12 = 0 6x = 12 x = 2

Теперь найдем значение функции f(x) в точках 1, 2 и 4:

f(1) = 31^2 - 121 + 1 = -8 f(2) = 32^2 - 122 + 1 = -11 f(4) = 34^2 - 124 + 1 = 13

Таким образом, наименьшее значение функции f(x) на интервале [1;4] равно -11, и оно достигается при x = 2. Наибольшее значение функции f(x) на этом интервале равно 13 и достигается при x = 4.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции ( f(x) = 3x^2 - 12x + 1 ) на отрезке ([1; 4]), нужно выполнить несколько шагов, связанных с анализом функции. Включим в рассмотрение критические точки и значения функции на концах отрезка.

Шаг 1: Найдите производную функции

Сначала найдем первую производную функции ( f(x) ), чтобы определить критические точки:

[ f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 12x + 1) = 6x - 12 ]

Шаг 2: Найдите критические точки

Критические точки находятся из условия, когда производная равна нулю или не существует. В данном случае:

[ 6x - 12 = 0 ]

Решая это уравнение, получаем:

[ 6x = 12 \implies x = 2 ]

Шаг 3: Проверьте значения на концах отрезка и в критической точке

Теперь вычислим значения функции ( f(x) ) в критической точке и на концах отрезка:

1. ( f(1) = 3(1)^2 - 12(1) + 1 = 3 - 12 + 1 = -8 )
2. ( f(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 1 = 12 - 24 + 1 = -11 )
3. ( f(4) = 3(4)^2 - 12(4) + 1 = 48 - 48 + 1 = 1 )

Шаг 4: Сравните значения

Теперь сравним полученные значения, чтобы определить наибольшее и наименьшее:

• Наименьшее значение: (-11) при (x = 2)
• Наибольшее значение: (1) при (x = 4)

Ответ

Наименьшее значение функции на отрезке ([1; 4]) равно (-11), а наибольшее значение равно (1).