Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=x^3-x^2-x+2 на отрезке [-1 ; 3/2]

Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции ( f(x) = x^3 - x^2 - x + 2 ) на заданном отрезке ([-1; \frac{3}{2}]), следует выполнить несколько шагов:

1. Найти производную функции, чтобы определить критические точки, в которых функция может достигать экстремумов: [ f'(x) = 3x^2 - 2x - 1 ]

2. Решить уравнение ( f'(x) = 0 ) для нахождения стационарных точек: [ 3x^2 - 2x - 1 = 0 ] Решаем это квадратное уравнение: [ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6} = \frac{2 \pm 4}{6} ] [ x_1 = 1, \quad x_2 = -\frac{1}{3} ]

3. Проверить, какие из найденных точек лежат внутри интервала ([-1; \frac{3}{2}]): Обе точки ( x_1 = 1 ) и ( x_2 = -\frac{1}{3} ) лежат внутри интервала.

4. Вычислить значения функции в критических точках и на концах интервала: [ f(-1) = (-1)^3 - (-1)^2 - (-1) + 2 = -1 - 1 + 1 + 2 = 1 ] [ f(1) = 1^3 - 1^2 - 1 + 2 = 1 - 1 - 1 + 2 = 1 ] [ f\left(-\frac{1}{3}\right) = \left(-\frac{1}{3}\right)^3 - \left(-\frac{1}{3}\right)^2 - \left(-\frac{1}{3}\right) + 2 = -\frac{1}{27} - \frac{1}{9} + \frac{1}{3} + 2 = \frac{54}{27} \approx 2 ] [ f\left(\frac{3}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}\right)^3 - \left(\frac{3}{2}\right)^2 - \left(\frac{3}{2}\right) + 2 = \frac{27}{8} - \frac{9}{4} - \frac{3}{2} + 2 = \frac{27 - 18 - 12 + 16}{8} = \frac{13}{8} \approx 1.625 ]

5. Сравнить полученные значения:

   • Наименьшее значение функции на интервале: ( f(-1) = f(1) = 1 )
   • Наибольшее значение функции на интервале: ( f\left(-\frac{1}{3}\right) \approx 2 )

Итак, наибольшее значение функции на заданном отрезке ( f(x) ) равно примерно 2, и это значение достигается при ( x = -\frac{1}{3} ), наименьшее значение равно 1 и достигается при ( x = -1 ) и ( x = 1 ).

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x) на отрезке [-1 ; 3/2] необходимо найти значения функции в крайних точках отрезка и в критических точках внутри отрезка.

1. Найдем значения функции в крайних точках отрезка:

   • f(-1) = (-1)^3 - (-1)^2 - (-1) + 2 = -1 - 1 + 1 + 2 = 1
   • f(3/2) = (3/2)^3 - (3/2)^2 - 3/2 + 2 = 27/8 - 9/4 - 3/2 + 2 = 27/8 - 18/8 - 12/8 + 16/8 = 13/8

2. Найдем критические точки внутри отрезка: f'(x) = 3x^2 - 2x - 1 Найдем точки, где производная равна нулю: 3x^2 - 2x - 1 = 0 Дискриминант D = 4 + 12 = 16 x = (2 ± √16) / 6 x1 = (2 + 4) / 6 = 6 / 6 = 1 x2 = (2 - 4) / 6 = -2 / 6 = -1/3

3. Найдем значения функции в критических точках:

   • f(1) = 1^3 - 1^2 - 1 + 2 = 1 - 1 - 1 + 2 = 1
   • f(-1/3) = (-1/3)^3 - (-1/3)^2 - (-1/3) + 2 = -1/27 - 1/9 + 1/3 + 2 = -1/27 - 3/27 + 9/27 + 54/27 = 59/27

Таким образом, наибольшее значение функции f(x) на отрезке [-1 ; 3/2] равно 13/8 (при x = 3/2), а наименьшее значение равно -1 (при x = -1).