Найдите интервалы возрастания и убывания функции f(x) =x^3 - x^2-x+2

Для нахождения интервалов возрастания и убывания функции ( f(x) = x^3 - x^2 - x + 2 ), необходимо сначала найти первую производную функции, затем определить знак производной на различных интервалах.

1. Нахождение первой производной: [ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - x^2 - x + 2) = 3x^2 - 2x - 1 ]

2. Нахождение критических точек: Найдем корни уравнения ( f'(x) = 0 ): [ 3x^2 - 2x - 1 = 0 ] Решим это квадратное уравнение через дискриминант: [ D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 ] Тогда корни уравнения: [ x_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{6} = \frac{2 + 4}{6} = 1, \quad x_2 = \frac{2 - 4}{6} = -\frac{1}{3} ]

3. Исследование знака производной: Подставим в ( f'(x) ) значения из интервалов ( (-\infty, -\frac{1}{3}) ), ( (-\frac{1}{3}, 1) ), и ( (1, \infty) ):

   • Для ( x < -\frac{1}{3} ) (например, ( x = -1 )): [ f'(-1) = 3(-1)^2 - 2(-1) - 1 = 3 + 2 - 1 = 4 > 0 ] (значит, функция возрастает на этом интервале).

   • Для ( -\frac{1}{3} < x < 1 ) (например, ( x = 0 )): [ f'(0) = 3 \cdot 0^2 - 2 \cdot 0 - 1 = -1 < 0 ] (значит, функция убывает на этом интервале).

   • Для ( x > 1 ) (например, ( x = 2 )): [ f'(2) = 3 \cdot 2^2 - 2 \cdot 2 - 1 = 12 - 4 - 1 = 7 > 0 ] (значит, функция возрастает на этом интервале).

Вывод: Функция ( f(x) = x^3 - x^2 - x + 2 ) возрастает на интервалах ( (-\infty, -\frac{1}{3}) ) и ( (1, \infty) ), и убывает на интервале ( (-\frac{1}{3}, 1) ).

Для нахождения интервалов возрастания и убывания функции f(x) = x^3 - x^2 - x + 2, необходимо найти производную этой функции и найти ее корни.

f'(x) = 3x^2 - 2x - 1

Далее находим корни производной:

3x^2 - 2x - 1 = 0

Для нахождения корней используем дискриминант:

D = (-2)^2 - 43(-1) = 4 + 12 = 16

x1,2 = (-(-2) ± √16) / 6 x1,2 = (2 ± 4) / 6 x1 = 1 x2 = -1/3

Теперь составляем таблицу знаков производной:

x < -1/3: f'(x) < 0, функция убывает -1/3 < x < 1: f'(x) > 0, функция возрастает x > 1: f'(x) < 0, функция убывает

Итак, интервалы возрастания функции f(x) = x^3 - x^2 - x + 2: (-1/3; 1) Интервалы убывания функции: (-∞; -1/3) и (1; +∞)