Найдите функцию, обратную функции y=x^2+7, x=0, постройте на одном чертеже графики этих взаимно...

Question

Найдите функцию, обратную функции y=x^2+7, x>=0, постройте на одном чертеже графики этих взаимно обратных функций

богдан1271 · Answer

### Решение:

Давайте найдем функцию, обратную данной функции $ y = x^2 + 7 $, при условии $ x \geq 0 $. А затем построим графики обеих функций.

---

#### Шаг 1. Найдем обратную функцию
Чтобы найти обратную функцию, нужно выразить $ x $ через $ y $. Для этого:

1. Запишем данную функцию:  
   $$
   y = x^2 + 7
   $$

2. Выразим $ x^2 $ через $ y $:  
   $$
   x^2 = y - 7
   $$

3. Возьмем квадратный корень:  
   $$
   x = \sqrt{y - 7}
   $$

Здесь важно учитывать, что $ x \geq 0 $, так как это указано в условии.

Обратная функция будет:  
$$
f^{-1}(y) = \sqrt{y - 7}, \quad y \geq 7.
$$

---

#### Шаг 2. Графики функций
1. **Исходная функция**: $ y = x^2 + 7 $, где $ x \geq 0 $.  
   Это парабола, сдвинутая вверх на 7 единиц, ограниченная для $ x \geq 0 $ (т.е. только правая ветвь параболы будет использоваться). График начинается от точки $ (0, 7) $ и уходит вправо-вверх.

2. **Обратная функция**: $ y = \sqrt{x - 7} $, где $ x \geq 7 $.  
   Это график квадратного корня, сдвинутый вправо на 7 единиц. Он начинается от точки $ (7, 0) $ и уходит вправо-вверх.

3. **Симметрия**: Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $ y = x $.

---

#### Шаг 3. Построение графиков
Для построения графиков рассмотрим несколько точек для каждой функции.

1. **Для исходной функции $ y = x^2 + 7 $:**
   - $ x = 0 $: $ y = 0^2 + 7 = 7 $ → точка $ (0, 7) $
   - $ x = 1 $: $ y = 1^2 + 7 = 8 $ → точка $ (1, 8) $
   - $ x = 2 $: $ y = 2^2 + 7 = 11 $ → точка $ (2, 11) $
   - $ x = 3 $: $ y = 3^2 + 7 = 16 $ → точка $ (3, 16) $

2. **Для обратной функции $ y = \sqrt{x - 7} $:**
   - $ x = 7 $: $ y = \sqrt{7 - 7} = 0 $ → точка $ (7, 0) $
   - $ x = 8 $: $ y = \sqrt{8 - 7} = 1 $ → точка $ (8, 1) $
   - $ x = 11 $: $ y = \sqrt{11 - 7} = 2 $ → точка $ (11, 2) $
   - $ x = 16 $: $ y = \sqrt{16 - 7} = 3 $ → точка $ (16, 3) $

Теперь строим обе функции на одном графике. Не забудьте изобразить прямую $ y = x $, чтобы показать симметрию.

---

#### Итог:
- **Исходная функция**: $ y = x^2 + 7, \quad x \geq 0 $.
- **Обратная функция**: $ y = \sqrt{x - 7}, \quad x \geq 7 $.
- Графики функций симметричны относительно прямой $ y = x $.

На графике:
- Парабола $ y = x^2 + 7 $ проходит через точки $ (0, 7), (1, 8), (2, 11), (3, 16) $, и идет вправо-вверх.
- Кривая $ y = \sqrt{x - 7} $ проходит через точки $ (7, 0), (8, 1), (11, 2), (16, 3) $, и идет вправо-вверх.

rulev1998 · Answer

Чтобы найти обратную функцию к данной функции $ y = x^2 + 7 $ для $ x \geq 0 $, следуем пошагово.

1. **Запишем уравнение функции**:
   $$
   y = x^2 + 7
   $$

2. **Решим это уравнение относительно $ x $**:
   Для этого выразим $ x $:
   $$
   y - 7 = x^2
   $$
   $$
   x = \sqrt{y - 7}
   $$
   Здесь мы берем положительный корень, так как $ x \geq 0 $.

3. **Запишем обратную функцию**:
   Теперь мы можем записать обратную функцию, меняя местами $ x $ и $ y $:
   $$
   y = \sqrt{x - 7}
   $$
   Таким образом, обратная функция к $ y = x^2 + 7 $ для $ x \geq 0 $ будет:
   $$
   f^{-1}(x) = \sqrt{x - 7}
   $$

4. **Построим графики обеих функций**:
   Теперь мы можем построить графики оригинальной функции и ее обратной функции.

- Для функции $ y = x^2 + 7 $:
     - Если $ x = 0 $, $ y = 0^2 + 7 = 7 $.
     - Если $ x = 1 $, $ y = 1^2 + 7 = 8 $.
     - Если $ x = 2 $, $ y = 2^2 + 7 = 11 $.
     - Если $ x = 3 $, $ y = 3^2 + 7 = 16 $.
   
   График этой функции — парабола, направленная вверх, с вершиной в точке $ (0, 7) $.

- Для функции $ y = \sqrt{x - 7} $:
     - Эта функция определена для $ x \geq 7 $.
     - Если $ x = 7 $, $ y = \sqrt{7 - 7} = 0 $.
     - Если $ x = 8 $, $ y = \sqrt{8 - 7} = 1 $.
     - Если $ x = 9 $, $ y = \sqrt{9 - 7} = \sqrt{2} $.
     - Если $ x = 10 $, $ y = \sqrt{10 - 7} = \sqrt{3} $.

График этой функции представляет собой верхнюю часть коренной функции, начинающейся в точке $ (7, 0) $.

5. **Свойства графиков**:
   - Графики обратных функций симметричны относительно линии $ y = x $.
   - Это означает, что если у вас есть точка $ (a, b) $ на графике функции $ y = x^2 + 7 $, то точка $ (b, a) $ будет находиться на графике обратной функции $ y = \sqrt{x - 7} $.

### Вывод
Мы нашли обратную функцию $ f^{-1}(x) = \sqrt{x - 7} $ и построили графики обеих функций. Они пересекаются на линии $ y = x $, что подтверждает их взаимную обратность.

Найдите функцию, обратную функции y=x^2+7, x>=0, постройте на одном чертеже графики этих взаимно...

ЖизньЖизни

2 Ответа

Решение:

Шаг 1. Найдем обратную функцию

Шаг 2. Графики функций

Шаг 3. Построение графиков

Итог:

богдан1271

Вывод

rulev1998

Ваш ответ

Вопросы по теме

Исследовать функцию y = x^3+6x^2+9x и построить ее график

Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график:y = x^3 - 3x

Y=1\2x^2 и y=4-x Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями.Сделать чертеж

Исследуйте функцию и постройте график y= 2x^3 + 3x^2 - 2

Y=x^2+1 найти точки экстремума функции

Построить график функции y =x²-2x+1

Исследовать функцию f(x)=x^3-6x^2+9x-3 и построить график

Постройте график функции y={x^2-6x+11, если x(больше, либо равно) 2, и x+1, если x

Постройте график функции(с таблицей значений) y=x²+6x+2

Y=4x-x2-3 построить график функции . найдите промежутки возрастания функции

Найдите функцию, обратную функции y=x^2+7, x&gt;=0, постройте на одном чертеже графики этих взаимно...

Поделись ссылкой на вопрос