На танцплощадке собрались n юношей и n девушек. Сколькими способами они могут разбиться на пары для...

Для того чтобы разбиться на пары, каждому юноше нужно выбрать девушку для танца. Поскольку количество юношей и девушек одинаковое (n), то количество способов разбиться на пары равно n! (n факториал).

Факториал числа n (обозначается как n!) равен произведению всех натуральных чисел от 1 до n. Например, для n=3 мы имеем 3! = 321 = 6 способов разбиться на пары.

Таким образом, общее количество способов разбиться на пары для n юношей и n девушек равно n! (n факториал).

n!/(2^n) - количество способов разбиться на пары для участия в танце.

Чтобы определить, сколькими способами ( n ) юношей и ( n ) девушек могут разбиться на пары, мы можем воспользоваться факториалом. Давайте разберёмся, как это работает шаг за шагом.

1. Выбор партнёров для танца:

   • Для первого юноши у нас есть ( n ) возможных партнёрш.
   • После того как первая пара выбрана, остаётся ( n-1 ) юношей и ( n-1 ) девушек. Для следующего юноши остаётся ( n-1 ) возможных партнёрш.
   • Продолжая в таком духе, для третьего юноши будет ( n-2 ) партнёрш и так далее, пока не останется одна последняя пара.

2. Общее количество способов:

   • Общее количество способов разбить юношей и девушек на пары будет равно произведению всех этих вариантов: ( n \times (n-1) \times (n-2) \times \ldots \times 1 = n! ) (факториал от ( n )).

3. Учёт порядка в парах:

   • Порядок формирования пар не имеет значения (то есть пара (А, Б) такая же, как пара (Б, А)). Поэтому нам нужно учесть, что каждая пара может быть образована двумя способами: (юноша, девушка) и (девушка, юноша).
   • Поскольку у нас ( n ) пар, этот порядок создаёт избыточность, которую нужно устранить, разделив на ( 2^n ) (где каждая пара может быть упорядочена двумя способами).

Таким образом, общее количество способов, которыми юноши и девушки могут разбиться на пары, будет:

[ \frac{n!}{2^n} ]

Это выражение даёт нам общее количество уникальных пар, которые могут быть составлены из ( n ) юношей и ( n ) девушек для участия в танце.