На клетчатой бумаге нарисован квадрат(3X3 клеточки).Требуется закрасить в этом квадрате три клеточки...

Для решения этой задачи можно воспользоваться методом перебора. Попробуем все возможные варианты раскраски и исключим те, которые не удовлетворяют условию задачи.

Попробуем начать с одной из угловых клеточек, так как угловые клеточки имеют меньше возможностей для раскраски. Пусть мы закрасили угловую клеточку в левом верхнем углу. Теперь у нас есть две клеточки, которые мы можем закрасить: справа от уже закрашенной и снизу от нее. Попробуем все возможные варианты:

1. Закрасить клеточку справа от угловой. Тогда остается только одна клеточка, которую можно закрасить - клеточка снизу от угловой. Таким образом, у нас есть только один вариант раскраски.
2. Закрасить клеточку снизу от угловой. Тогда остается только одна клеточка, которую можно закрасить - клеточка справа от угловой. Таким образом, у нас есть только один вариант раскраски.

Итак, мы видим, что есть всего два возможных варианта раскраски квадрата 3х3 клеточки. Следовательно, наибольшее количество способов раскраски равно 2.

Рассмотрим квадрат 3x3 клеток. Нам нужно закрасить три клеточки так, чтобы никакие две закрашенные клеточки не имели общую сторону. Также следует учесть, что два способа раскраски считаются одинаковыми, если один можно получить из другого поворотом квадрата.

1. Общее количество способов закрасить 3 клетки из 9: Всего в квадрате 3x3 — 9 клеток. Количество способов выбрать 3 клетки из 9 можно вычислить по формуле сочетаний: [ C(9, 3) = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = 84 ] Однако, это общее количество способов без учета дополнительных условий.

2. Условие, что закрашенные клетки не должны иметь общих сторон: Рассмотрим возможные конфигурации. Начнем с того, что при таком условии закрашенные клетки будут располагаться по диагонали или на расстоянии друг от друга.

   Простой пример:

   • Если первую клетку закрасить в верхнем левом углу (1,1), то остальные закрашенные клетки не могут располагаться в тех клетках, которые имеют общую сторону с этой клеткой. Следовательно, варианты для закраски будут (1,1), (2,3), (3,2) и подобные.

3. Определение всех возможных уникальных конфигураций: Рассмотрим уникальные конфигурации (с учетом поворотов):

   • Диагональные: например, (1,1), (2,2), (3,3) и (1,3), (2,2), (3,1). Эти конфигурации не подходят, так как две клетки имеют общую сторону.
   • Конфигурации с диагональными клетками:
     • (1,1), (2,3), (3,2)
     • (1,3), (2,1), (3,2)
     • (1,2), (2,3), (3,1)
     • (1,2), (2,1), (3,3)
     • (1,3), (2,1), (3,2)
     • (1,1), (2,2), (3,3)

4. Учет поворотов и симметрий: Мы должны учитывать, что конфигурации могут быть эквивалентны при повороте на 90, 180 и 270 градусов. Это значит, что нам нужно исключить дубликаты.

   Рассмотрим уникальные конфигурации без учета поворотов (каждая конфигурация может быть повернута на 90, 180 и 270 градусов):

   • Уникальные конфигурации:
     1. (1,1), (2,3), (3,2)
     2. (1,3), (2,1), (3,2)
     3. (1,2), (2,3), (3,1)
     4. (1,2), (2,1), (3,3)

   Если рассмотреть все возможные конфигурации клеток 3x3 с закрашенными клетками, можно заметить, что многие из них будут симметричны другим при повороте. В итоге, корректный подсчет показывает, что не более 4-х уникальных конфигураций могут быть использованы, каждая из которых может быть повернута, но рассматривается как одна уникальная группа.

Таким образом, наибольшее количество способов закрасить три клеточки так, чтобы никакие две закрашенные клеточки не имели общую сторону, и с учетом поворотов квадрата, равно 4.

6 способов.