На доске написано 100 различных натуральных чисел сумма которых равна 5100 а) Может ли быть среди них...

а) Да, число 250 может быть среди этих 100 чисел. В случае, если каждое из 100 чисел равно 51, то среди них будет и число 250.

б) Нет, число 12 не может отсутствовать среди этих 100 чисел. Если бы число 12 не входило в сумму, то сумма всех чисел на доске была бы меньше 5100.

в) Минимальное количество чисел, делящихся на 12, которые могут быть на доске - это 8 чисел (12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96).

Рассмотрим каждый из вопросов по отдельности.

а) Может ли быть среди них число 250?

Чтобы выяснить, может ли одно из чисел быть равно 250, нужно понять, как это повлияет на остальные числа.

Допустим, одно из чисел действительно равно 250. Тогда сумма оставшихся 99 чисел будет равна (5100 - 250 = 4850).

Теперь проверим, возможно ли распределить 4850 среди 99 различных натуральных чисел.

Самое маленькое 99 различных натуральных чисел — это числа от 1 до 99. Сумма этих чисел равна: [ \sum_{i=1}^{99} i = \frac{99 \cdot 100}{2} = 4950 ]

Однако нам нужно, чтобы их сумма была 4850, что на 100 меньше, чем 4950. Это означает, что мы можем уменьшить некоторое количество чисел из набора {1, 2, ., 99} так, чтобы в сумме уменьшение равнялось 100. Это вполне возможно, например, мы можем сделать некоторые числа меньше, чем они были бы в наборе {1, 2, ., 99}, но при этом все равно сохранить их различность.

Поэтому, ответ на этот вопрос: Да, число 250 может быть среди этих чисел.

б) Может ли там не быть числа 12?

Для ответа на этот вопрос нужно проверить, является ли число 12 обязательным для участия в сумме 5100.

Так как сумма 100 различных натуральных чисел равна 5100, это означает, что в наборе чисел должны быть числа, которые суммируются до 5100. Проверим, можно ли составить такую сумму без числа 12.

Снова рассмотрим набор из 100 различных чисел. Если число 12 отсутствует, это просто означает, что одно из чисел заменяется на другое, однако это не является принципиальным ограничением. Например, если у нас есть числа: {1, 2, ., 11, 13, ., 100}, то их сумма является: [ \sum_{i=1}^{100} i - 12 = 5050 - 12 = 5038 ]

Но нам нужна сумма 5100, что больше на 62. Поэтому мы можем увеличить некоторые из чисел, чтобы компенсировать эту разницу. Например, заменить одно из чисел на более большое, чтобы в сумме получить 5100. Это вполне возможно.

Следовательно, число 12 не является обязательным.

в) Напишите минимальное количество чисел, которые делятся на 12

Чтобы найти минимальное количество чисел, которые делятся на 12, сначала посчитаем, сколько таких чисел вообще может быть среди 100 чисел. Для этого используем принцип делимости:

Числа, делящиеся на 12, имеют вид (12k), где (k) — натуральное число.

Теперь рассмотрим, насколько это влияет на общую сумму. Если мы возьмем числа (12k_1, 12k_2, ., 12k_n), то их влияние на сумму будет кратно 12.

Мы знаем, что сумма всех чисел равна 5100, и нам нужно минимизировать количество чисел, делящихся на 12.

Если бы ни одно из чисел не делилось на 12, это было бы невозможно, так как сумма 5100 должна включать в себя числа, кратные 12. Но минимальное количество таких чисел можно определить, если предположить, что сумма всех чисел, не кратных 12, составляет 5095 (например), а оставшиеся 5 должны суммарно быть кратными 12. Но это уже невозможная ситуация, так как сумма 100 чисел не может быть 5095.

Таким образом, минимальное число чисел, которые делятся на 12 — это минимум одно число, потому что если бы ни одно число не делилось на 12, то сумма не была бы делимой на 12.

Следовательно, минимальное количество чисел, делящихся на 12 — это одно число.