Моторная лодка в 9:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от пункта А. Пробыв в пункте...

Для решения задачи нужно рассмотреть движение лодки по течению и против течения реки и использовать соответствующие уравнения движения.

Обозначим переменные:

• ( v ) — скорость течения реки (в км/ч).
• Собственная скорость лодки ( v_{\text{лод}} = 12 ) км/ч.
• Расстояние между пунктами А и В ( S = 15 ) км.

Разберем движение лодки:

1. Движение из А в В (по течению):

   • Скорость лодки по течению: ( v{\text{по течению}} = v{\text{лод}} + v = 12 + v ) км/ч.
   • Время в пути: ( t1 = \frac{S}{v{\text{по течению}}} = \frac{15}{12 + v} ) часов.

2. Стоянка в пункте В:

   • Время стоянки: 1 час 20 минут = ( \frac{4}{3} ) часа.

3. Движение из В в А (против течения):

   • Скорость лодки против течения: ( v{\text{против течения}} = v{\text{лод}} - v = 12 - v ) км/ч.
   • Время в пути: ( t2 = \frac{S}{v{\text{против течения}}} = \frac{15}{12 - v} ) часов.

Общий анализ времени:

• Лодка вышла в 9:00 и вернулась в 13:00, значит, общее время в пути составляет 4 часа.
• Уравнение времени: [ t_1 + \frac{4}{3} + t_2 = 4 ] [ \frac{15}{12 + v} + \frac{4}{3} + \frac{15}{12 - v} = 4 ]

Решаем уравнение:

1. Упростим уравнение: [ \frac{15}{12 + v} + \frac{15}{12 - v} = 4 - \frac{4}{3} = \frac{12}{3} - \frac{4}{3} = \frac{8}{3} ]

2. Приведем дроби к общему знаменателю: [ \frac{15(12 - v) + 15(12 + v)}{(12 + v)(12 - v)} = \frac{8}{3} ]

3. Упростим числитель: [ 15 \times (12 - v) + 15 \times (12 + v) = 180 - 15v + 180 + 15v = 360 ]

4. Подставим в уравнение: [ \frac{360}{144 - v^2} = \frac{8}{3} ]

5. Умножим крест-накрест: [ 3 \times 360 = 8 \times (144 - v^2) ] [ 1080 = 1152 - 8v^2 ]

6. Переносим и решаем относительно ( v^2 ): [ 8v^2 = 1152 - 1080 ] [ 8v^2 = 72 ] [ v^2 = 9 ] [ v = 3 ]

Ответ:

Скорость течения реки составляет ( v = 3 ) км/ч.

Скорость течения реки равна 3 км/ч.

Пусть скорость течения реки равна V км/ч. Тогда скорость лодки в направлении от пункта A к пункту B будет равна 12 + V км/ч, а в обратном направлении - 12 - V км/ч.

По условию, лодка прошла расстояние от пункта A к пункту B за 1 час 20 минут, то есть 1.33 часа. Тогда время в обратном направлении составляет 1.67 часа.

Составим уравнение на основе формулы: расстояние = скорость * время.

15 = (12 + V) 1.33 (от пункта A к пункту B) 15 = (12 - V) 1.67 (от пункта B к пункту A)

Решим систему уравнений:

12 + V = 15 / 1.33 12 + V = 11.28 V = 11.28 - 12 V = -0.72

12 - V = 15 / 1.67 12 - V = 8.98 V = 12 - 8.98 V = 3.02

Таким образом, скорость течения реки равна 3.02 км/час.